Seja a função g ( x ) contínua e que não se anula para nenhum valor de x em seu domínio. Sabe-se que:

g 3 x = ∫ x π 2 2 g 2 u + g 2 ( u ) ( sin ⁡ u + cos ⁡ u ) 2 + cos ⁡ u d u

  1. Prove que a função g ( x ) é crescente para x entre ( 0 , π / 2 ) .
  2. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função g ( x ) no ponto x = π 3 .

Passo 1

Faaala, rapeize! Trabalharemos principalmente com Teorema Fundamental do Cálculo nessa questão derivando a integral pra extrairmos informações acerca da derivada de g . Ao trabalho, este Teorema do lado direito juntamente com a regra da cadeia à esquerda da igualdade resulta:

g 3 x = ∫ - x π 2 2 g 2 u + g 2 ( u ) ( sin ⁡ u + cos ⁡ u ) 2 + cos ⁡ u d u

⇒ 3 g 2 x g ' x = - 2 g 2 u + g 2 u sin ⁡ u + cos ⁡ u 2 + cos ⁡ u u = x ⋅ d d x x

⇒ 3 g 2 x g ' x = - 2 g 2 x + g 2 x sin ⁡ x + cos ⁡ x 2 + cos ⁡ x

⇒ 3 g 2 x g ' x = - g 2 ( x ) 2 + sin ⁡ x + cos ⁡ x 2 + cos ⁡ x

Contudo:

cos ⁡ x + sin ⁡ x = 2 cos ⁡ π 4 cos ⁡ x + sin ⁡ π 4 sin ⁡ x = 2 cos ⁡ x - π 4

Juntando isso ao fato de g não se anular, temos:

⇒ g ' x = g 2 x 3 g 2 x ⋅   2 + 2 cos ⁡ x - π 4 2 + cos ⁡ x

⇒ g ' x = 1 3 ⋅   2 + 2 cos ⁡ x - π 4 2 + cos ⁡ x

Observe que para todo x ∈ R :

- 1 ≤ cos ⁡ x - π 4 ≤ 1 ⇒ - 2 ≤ cos ⁡ x - π 4 ≤ 2 ⇒ 0 < 2 - 2 ≤ 2 + cos ⁡ x - π 4 ≤ 2 + 2

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1 ⇒ 0 < 1 ≤ 2 + cos ⁡ x ≤ 3

Considerando isto, temos

g ' x = 1 3 ⋅   2 + 2 cos ⁡ x - π 4 2 + cos ⁡ x > 0 ,   ∀ x ∈ 0 , π 2

Como g ' x > 0 ,   ∀ x ∈ 0 , π 2 , temos que g é estritamente crescente em x ∈ 0 , π 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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