Dada a função f x = - 2 x 3 + 6 x 2 - 3 . Determine:

a) intervalos de crescimento e decrescimento e extremos locais.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função é crescente, decrescente e seus extremos locais (máximos e mínimos).

Como a derivada é uma taxa de variação, nós podemos usar ela pra verificar a função. Se a derivada, nossa função é crescente no intervalo, se for negativa, ela é decrescente.

Então, o que nós vamos fazer é calcular a derivada e fazer o estudo de sinal. Em seguida, vamos determinar os extremos locais fazendo f ' x = 0 .

Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular a derivada da função f x = - 2 x 3 + 6 x 2 - 3 :

f ' x = - 6 x 2 + 12 x

Podemos colocar 6 x em evidência:

f ' x = 6 x ( - x + 2 )

Cada termo vai ser zero, quando x = 0 ou quando x = 2 , esses também são os pontos críticos da nossa função.

Agora vamos montar o quadro de sinais pra entender o comportamento dessa função:

Na terceira linha, a gente faz a multiplicação dos sinais. Nos locais onde a derivada é positiva, a nossa função é crescente, como indica a setinha na quarta linha, e nos locais onde a derivada é negativa, a função a decrescente, como também indica a setinha.

Então, nosso intervalo de crescimento é:

[ 0 ,   2 ]

E nossos intervalos de decrescimento são:

∞ ,   0 ∪ [ 2 ,   ∞ )

E nossos extremos locais são os pontos onde a derivada é zero, no caso, x = 0 e x = 2 . Repare que x = 0 é um ponto de mínimo, e x = 2 é um máximo local.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0 ,   2 → f   é   c r e s c e n t e

∞ ,   0 ∪ 2 ,   ∞ → f   é   d e c r e s c e n t e

x = 0 → m í n i m o   l o c a l

x = 2 → m á x i m o   l o c a l

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