Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UNICAMP, Cálculo 1, P1 - 2012.1 - 5ª Noturno, Questão 3 c

Seja f x = x 2 e x - 1

( c ) Determine os intervalos do domínio de f onde a sua derivada seja positiva, negativa ou nula.

Passo 1

Para saber onde os intervalos da derivada vai ser positiva, negativa ou nula, temos que começar achando a derivada. Depois vamos fazer a análise de sinal dessa função.

Vamos usar a Regra do Produto para essa questão:

Temos o produto de x 2 com e x - 1

f ' x = x 2 ' e x - 1 + x 2 e x - 1 '

f ' x = 2 x e x - 1 + x 2 e x - 1 '

Opa, temos que fazer a derivada de uma função exponencial com uma função no expoente. Agora vamos precisar fazer a regra da cadeia em e x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer a derivada de g x = e x - 1 , chamei de g x só para facilitar nossa conta.

Repara que temos duas funções ali, uma é a função que está no expoente

u x = x - 1

A outra é o e elevado a essa função, que no fundo é a função

h x = e x

Assim

g x = h u x

Aplicando a regra da cadeia, teremos

g ' x = h ' u x u ' x

Vamos achar a derivada de h e de u

h ' x = e x

u ' x = 1

Assim

g ' x = e u x . 1 = e x - 1

Passo 3

Agora, voltando para f x , tínhamos

f ' x = 2 x e x - 1 + x 2 e x - 1 '

Substituindo o valor que achamos de e x - 1 ' , vamos ter

f ' x = 2 x e x - 1 + x 2 e x - 1

Colocando e x - 1 em evidência, vamos ter

f ' x = ( 2 x + x 2 ) e x - 1

Passo 4

Vamos fazer o quadro de sinais de f ' ( x ) , lembrando que a exponencial é sempre positiva e por isso não importa no nosso sinal de f ' ( x ) :

Dessa forma, a derivada de f é positiva no intervalo ] - , - 2     0 , + [ . Ela é negativa em ] - 2,0 [ e vale 0 quando x = 0 e quando x = - 2 .

Resposta

P o s i t i v a :   x     ] - , - 2     0 , + [

N e g a t i v a :   x     ] - 2,0 [

N u l a : x = 0 ; x = - 2

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