Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

USP, Cálculo 1, P2 - 2012, Questão 1 b

Dada a função f x = x - 5 ln x + 2 - 6 x + 2 , determine:

b ) os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;

Passo 1

Precisamos fazer a análise de sinal de f ' para sabermos onde f cresce ou decresce. Vamos derivar então:

f ' x = x ' - 5 ln x + 2 ' - 6 x + 2 - 1 '

f ' x = 1 - 5 x + 2 + 6 x + 2 2

Devemos agora analisar o sinal da função derivada, onde ela é positiva temos f crescendo e negativa temos f decrescendo. É uma boa procurar as raízes da equação e, a partir daí, ver como a função era antes e depois dessa raiz (positiva ou negativa):

f ' x = 1 - 5 x + 2 + 6 x + 2 2 = 0

x + 2 2 - 5 x + 2 + 6 x + 2 2 = 0

x 2 + 4 x + 4 - 5 x - 10 + 6 x + 2 2 = 0

x 2 - x x + 2 2 = 0

x = 0   ; x = 1

Bom, se você usar valores maiores que 1 ou valores menores que 0 em f ' ( x ) vai ver que a função é positiva. Com valores entre 0 e 1 a função fica negativa. Ou seja, f ( x ) é crescente em todo domínio menos em ] 0,1 [ , onde decresce.

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Resposta

f ( x )   é   c r e s c e n t e   e m   t o d o   d o m í n i o   m e n o s   e m   ] 0,1 [ ,   o n d e   d e c r e s c e

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