Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

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Enunciado

Considere f e g funções definidas pelos gráficos abaixo. Sabendo que r é tangente ao gráfico da f e ao da g em x = 3 , e que r corta os eixos nos pontos indicados, faça um esboço, no mesmo par de eixos, do gráfico das derivadas f ' e g ' .

Passo 1

Antes de pensar no gráfico em si da função, vamos pensar o que diabos aquela reta tangente ali tem a ver com a história. Bem, sabemos que ela, por ser tangente, vai ter a mesma derivada das duas funções no ponto de tangência. A reta passa pelo ponto ( 3,0 ) , então:

y - y 0 = m x - x 0 ⟹ y - 0 = m x - 3 ⟹ y = m ( x - 3 )

Olhando o gráfico, também dá para perceber que a reta toca o eixo y ( x = 0 ) no ponto y = - 6 . Assim, a reta passa pelo ponto ( 0 , - 6 ) também, substituindo para achar m :

- 6 = m 0 - 3 ⟹ m = 2

Show, então a derivada de f e g vale 2 no ponto x = 3 , que é o ponto de tangência.

Passo 2

Vamos concentrar agora na parte onde não temos valores. Sabemos que onde o gráfico cresce a derivada é positiva. Onde decresce ela é negativa. Esboçando umas regiões de crescimento e decrescimento:

Até x = 1 , as duas derivadas são negativas. A partir daí, positivas. Em x = 1 as derivadas são horizontais (olhe a linha pontilhada no gráfico) e, portanto:

f ' 1 = g ' 1 = 0

Agora, repara naquele sinal de negativo pequeno que ali no fim: o gráfico g volta a decrescer a partir daí, ou seja, um pouco à frente de x = 3 . f , porém, continua crescendo.

Passo 3

Agora podemos propriamente esboçar o crescimento e decrescimento das derivadas:

Esclarecendo uma coisa mais: Nesse caso, você não precisa saber como é o desenho do gráfico, a única coisa numérica é que f ' 1 = g ' 1 = 0 e f ' 3 = g ' 3 = 2 . Para construir o resto, usamos os intervalos de crescimento e decrescimento.

Resposta

( F i g u r a   a c i m a )

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