Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

Mostre que sin ⁡ x < x   ,   ∀ x > 0 . (Sugestão: prove para x ≥ π 2 , use as propriedades da trigonometria, para 0 < x < π 2 , use derivada)

Passo 1

Enunciar o teorema do valor médio

Essa questão tem um cheirinho de TVM, não é? Vamos lembrar então do teorema do valor médio primeiro e vamos ver se conseguimos algo dele. Seja f x contínua entre a , b , tal que f ( a ) ≠ f b , então existirá um número c tal que c ∈ a , b que satisfaz:

f ' c = f b - f a b - a

Da forma mais direta, se escolhermos:

a , b = 0 , x

Vamos ficar com

f ' c = f x - f 0 x - 0

f ' c = f x - f 0 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Achar uma expressão para f x e coloca-la em uma inequação

Show de bola, como nosso enunciado era:

sin ⁡ x < x

É uma escolha interessante fazermos:

f x = sin ⁡ x

Porque, dessa forma, vamos ter:

f 0 = sin ⁡ 0 = 0

E, logo, derivando f x , ficaremos com:

cos ⁡ c = s i n x x

Opa, vamos lembrar de uma propriedade importante dos senos e cossenos:

- 1 ≤ cos ⁡ c ≤ 1

Maravilha, agora é só substituir:

- 1 ≤ s i n x x ≤ 1

- x ≤ s i n x ≤ x

s i n x ≤ x

E pronto, tai provado! Mais uma questão feita pra lista!

Resposta

sin ⁡ x < x   ,   ∀ x > 0 é provado como verdadeiro.

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