Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UNICAMP, Cálculo 1, P2 - 2017.1 - 5a Noturno , Questão 5

Determine os valores de c para os quais a função

f x = c x + 1 x 2 + 3

é crescente em ( - ,   ) .

Passo 1

Para que a função seja crescente em ( - ,   ) devemos ter

f ' x > 0

Então vamos derivar f

f ' ( x ) = c - 2 x ( x 2 + 3 ) ²

Portanto, queremos que

c - 2 x ( x 2 + 3 ) ² > 0

c > 2 x ( x 2 + 3 ) ²

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que podemos concluir a partir de c > 2 x ( x 2 + 3 ) ² ? Bom, c tem que ser maior que todos os valores de da função 2 x ( x 2 + 3 ) ² . Então, podemos encontrar o máximo absoluto dela e dizer que se c for maior que ele, a função f sempre será crescente em ( - ,   ) . Vamos nessa missão então, primeiro derivando a função que chamaremos de g :

g x = 2 x ( x 2 + 3 ) ²

g ' ( x ) = 2 ( x 2 + 3 ) ² - 2 ( x 2 + 3 ) 2 x ( 2 x ) ( x 2 + 3 ) 4 = 6 - 6 x ² ( x 2 + 3 ) ³

Passo 3

Agora vamos achar os pontos críticos de g

g ' x = 0

6 - 6 x ² ( x 2 + 3 ) ³ = 0

6 - 6 x ² = 0

x = ± 1

Aplicando o teste da primeira derivada:

  • Perto de x = 1 : Em x = 0 6 - 6 0 ² ( 0 2 + 3 ) ³ > 0
  • Em x = 2 6 - 6 2 ² ( 2 2 + 3 ) ³ < 0

  • Perto de x = - 1 : Em x = - 2 6 - 6 - 2 2 - 2 2 + 3 3 < 0

Em x = 0 6 - 6 0 ² ( 0 2 + 3 ) ³ > 0

Então, x = - 1 é mínimo global e x = 1 é máximo global.

Passo 4

Agora que sabemos o ponto em que g atinge seu máximo absoluto, vamos descobrir quanto ele vale:

g 1 = 2 1 ( 1 2 + 3 ) ² = 2 4 ² = 1 8

Finalmente, podemos concluir que se

c > 1 8

então f será crescente em ( - ,   ) .

Resposta

c > 1 8

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas