Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 8

De os intervalos em que a função é crescente e em que é decrescente

F u = u 2 - u + 1 2 u - 1

Passo 1

Achar a primeira derivada

Vamo que vamo. Quando a gente fala de teste de crescimento e decrescimento de função, o truque vai estar sempre na inclinação da reta tangente, ok? E como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função, a primeira coisa a fazer é derivar. Então bora:

F u = u 2 - u + 1 2 u - 1

Pela regra do quociente:

F ' u = u 2 - u + 1 ' 2 u - 1 - u 2 - u + 1 2 u - 1 ' 4 u - 1 2

F ' u = 2 u - 1 2 u - 2 - u 2 - u + 1 2 4 u - 1 2

F ' u = 4 u 2 - 6 u + 2 - 2 u 2 + 2 u - 2 4 u - 1 2

E, finalmente:

F ' u = u 2 - 2 u 2 u - 1 2

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Passo 2

Encontrar raízes de f ' x e os pontos onde ela não existe

Agora, vamos dar uma olhada nas raízes da primeira derivada. Isso porque ela vai ser exatamente o ponto limite em que a função passa de negativa pra positiva e vice versa, beleza? Então vamos:

F ' u = u 2 - 2 u 2 u - 1 2 = 0

u 2 - 2 u = 0

u = 2 ± - 2 2 - 4.1 . 0 2 . 1

Continuando, temos:

u = 2 ± 4 2

u = 1 ± 1

As raízes serão:

u = 2   e   u = 0

Pra fechar esse passo, vamos ver os pontos onde ela não existe. Oras, pra isso basta ver em que pontos temos uma indeterminação. Como é uma fração:

2 u - 1 2 0

u - 1 0

u 1

Então vamos analisar u = 1 também, show?

Passo 3

Encontrar sinal da primeira derivada em intervalos que envolvam as raízes e os pontos em que a derivada não existe

Como nesse caso temos 2 raízes e um ponto de indeterminação, os invervalores possíveis serão:

u < 0  

0 < u < 1  

1 < u < 2  

u > 2

Vamos testar o primeiro intervalo, u < 0   , usando, por exemplo, u = - 1 . Vamos ter:

F ' - 1 = - 1 2 - 2 - 1 2 - 1 - 1 2

F ' - 1 = 3 8

E agora, vamos testar pra pro segundo intervalo, 0 < u < 1   , usando, por exemplo, u = 0 , 5 . Vamos ter:

F ' 0 , 5 = 0 , 5 2 - 2 0 , 5 2 0 , 5 - 1 2

f ' 1,5 = - 1,5

Testando um ponto pro terceiro intervalo, 1 < u < 2   , usando, por exemplo, u = 1 , 5 . Vamos ter:

F ' 1 , 5 = 1 , 5 2 - 2 1 , 5 2 1 , 5 - 1 2

f ' 1,5 = - 1,5

E pra fechar com chave de ouro, vamos ver o quarto intervalo, u > 2 , usando, por exemplo, t = 3

F ' 3 = 3 2 - 2 3 2 3 - 1 2

F ' 3 = 3 8

Como:

F ' u > 0   p a r a   u < 0 < 0   p a r a   0 < u < 1 < 0   p a r a   1 < u < 2 > 0   p a r a   u > 2

Então:

F u c r e s c e n t e ,     u < 0 d e c r e s c e n t e ,     p a r a   0 < u < 1 d e c r e s c e n t e ,     p a r a   1 < u < 2 c r e s c e n t e ,     p a r a   u > 2  

Resposta

F u c r e s c e n t e ,     u < 0 d e c r e s c e n t e ,     p a r a   0 < u < 1 d e c r e s c e n t e ,     p a r a   1 < u < 2 c r e s c e n t e ,     p a r a   u > 2  

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