Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 7

De os intervalos em que a função é crescente e em que é decrescente

f t = 3 t 2 + 4 t 1 + t 2

Passo 1

Achando a primeira derivada

Quando a gente fala de teste de crescimento e decrescimento de função, o truque vai estar sempre na inclinação da reta tangente, beleza? Mas como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função, a primeira coisa a fazer é derivar. Então bora:

f t = 3 t 2 + 4 t 1 + t 2

Pela regra do quociente:

f ' x = 3 t 2 + 4 t ' 1 + t 2 - 3 t 2 + 4 t 1 + t 2 ' 1 + t 2 2

f ' x = 6 t + 4 1 + t 2 - 3 t 2 + 4 t 2 t t 4 + 2 t 2 + 1

f ' x = 6 t + 6 t 3 + 4 + 4 t 2 - 6 t 3 - 8 t 2 t 4 + 2 t 2 + 1

E, finalmente:

f ' x = - 4 t 2 + 6 t + 4 t 4 + 2 t 2 + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar raízes de f ' x

Agora, vamos dar uma olhada nas raízes da primeira derivada. Se a raiz é quando a função zera, então ela vai ser exatamente o ponto limite em que a função passa de negativa pra positiva e vice versa, ok?

f ' x = - 4 t 2 + 6 t + 4 t 4 + 2 t 2 + 1 = 0

- 4 t 2 + 6 t + 4 = 0

t = - 6 ± 6 2 - 4 . - 4 . 4 2 . - 4

Continuando, temos:

t = 6 36 + 64 8

t = 6 10 8

As raízes serão:

t = 2   e   t = - 1 2

Passo 3

Encontrar sinal da primeira derivada em intervalos que envolvam as raízes

Como nesse caso temos 4 raízes, os invervalores possíveis serão:

t < - 1 2  

- 1 2 < t < 2  

t > 2

Vamos testar o primeiro intervalo, t < - 1 2   , usando, por exemplo, t = - 1 . Vamos ter:

f ' - 1 = - 4 - 1 2 + 6 . - 1 + 4 - 1 4 + 2 - 1 2 + 1

f ' - 1 = - 6 4

E agora, vamos testar pra pro segundo intervalo, - 1 2 < t < 2   , usando, por exemplo, t = 0 . Vamos ter:

f ' 0 = - 4 0 2 + 6 . 0 + 4 0 4 + 2 0 2 + 1

f ' 0 = 4

E pra fechar com chave de ouro, vamos ver o terceiro intervalo, t > 2 , usando, por exemplo, t = 4

f ' 0 = - 4 4 2 + 6 . 4 + 4 4 4 + 2 4 2 + 1

f ' 0 = 28 - 64 256 + 32 + 1

f ' 0 = - 36 289

Como:

f ' x < 0   p a r a   t < - 1 2 > 0   p a r a   - 1 2 < t < 2 < 0   p a r a   t > 2  

Então:

f x = d e c r e s c e n t e ,     t < - 1 2 c r e s c e n t e ,     p a r a   - 1 2 < t < 2 d e c r e s c e n t e ,     p a r a   t > 2  

Resposta

f x = d e c r e s c e n t e ,     t < - 1 2 c r e s c e n t e ,     p a r a   - 1 2 < t < 2 d e c r e s c e n t e ,     p a r a   t > 2  

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas