Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 6

De os intervalos em que a função é crescente e em que é decrescente

f x = x + 3 x 2

Passo 1

Achando a primeira derivada

Quando a gente fala de teste de crescimento e decrescimento de função, o truque vai estar sempre na inclinação da reta tangente, não é mesmo? Se a inclinação é positiva, então a função cresce. Se é negativa, então a função decresce. Show, mas como a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função, a primeira coisa a fazer é derivar. Então, partiu:

f x = x + 3 x 2

f ' x = x + 3 x 2 '

f ' x = 1 - 6 x 3

Bem, então o que temos que fazer agora é estudar o sinal da primeira derivada, pois temos que lembrar da relação direta entre o sinal da derivada e da função:

Já que é sempre válido:

f ' > 0               f u n ç ã o   f   c r e s c e n t e  

f ' < 0               f u n ç ã o   f   d e c r e s c e n t e

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para facilitar a nossa vida... Vamos colocar uma fração só na derivada...

f ' x = x 3 x 3 - 6 x 3 = x 3 - 6 x 3

  1. Se você se lembrar, o gráfico da função x 3 é bem famoso...
  2. Onde o sinal de x 3 pode ser indicado assim:

  3. x 3 - 6 é um gráfico parecido com esse, mas deslodado 6 unidades para baixo...
  4. Que pode ser representado por:

    Esse raiz cúbica é onde a x 3 - 6 é 0 :

    x 3 = 6               x = 6 3

  5. Como o sinal que buscamos analisar é a divisão dos dois sinais:

Passo 3

Analisando então somento os sinais da derivada:

Já que é sempre válido:

f ' > 0               f u n ç ã o   f   c r e s c e n t e  

f ' < 0               f u n ç ã o   f   d e c r e s c e n t e

Podemos falar que

f x = c r e s c e n t e ,     x > 6 3   d e c r e s c e n t e ,   0 < x < 6 3 c r e s c e n t e ,     x < 0

Resposta

f x = c r e s c e n t e ,     x > 6 3   d e c r e s c e n t e ,   0 < x < 6 3 c r e s c e n t e ,     x < 0

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