Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

USP, Cálculo 1, P2 - 2018, Questão ME02

ME02) Seja f : ] 0 , [ I R dada por f x = x x 2 então:

  1. lim x 0 + f x = 1 e f é estritamente crescente
  2. Nenhuma das alternativas é correta
  3. lim x 0 + f x = 0 e f tem um ponto de mínimo local
  4. lim x 0 + f x = 1 e f tem um ponto de mínimo local
  5. lim x 0 + f x = 0 e f é estritamente crescente

Passo 1

Um bom primeiro passo pra essa questão vai ser a gente ver as opções. Veja, todas elas falam de limite e sobre a função ser estritamente crescente ou não. Como pra gente analisar se ela é ou não vamos precisar da inclinação da reta tangente, vamos precisar pra resolver:

  1. Calcular o limite
  2. Derivar a função

Antes de mais nada, olha essa propriedade aqui:

f x = e ln f x

Usando essa propriedade, podemos reescrever a função para:

f x = e ln x x 2

f x = e x 2 ln x

Reescrever assim vai facilitar muito nossas vidas, quer ver? Bora pro próximo passo então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular o limite então. Como todos os limites das opções são para x 0 + , fazemos:

lim x 0 + e x 2 ln x = e lim x 0 + x 2 ln x

Então se calcularmos o limite de cima, achamos a resposta. Veja bem, da propriedade dos limites:

lim x 0 + x 2 ln x = lim x 0 + x 2 lim x 0 + ln x

Opa, então só precisamos calcular os limites individuais. Ficamos com:

lim x 0 + x 2 ln x = 0 -

lim x 0 + x 2 ln x = 0

E como:

lim x 0 + e x 2 ln x = e lim x 0 + x 2 ln x

Fechamos o limite para:

lim x 0 + e x 2 ln x = e 0 = 1

Passo 3

Agora pra ver se a função é estritamente crescente ou não, vamos derivar pra ver como a inclinação da reta tangente se comporta.

f x = e x 2 ln x

Usando a regra da cadeia, temos:

f ' x = x 2 ln x ' e x 2 ln x

O que pela regra do produto nos leva à:

f ' x = x 2 ' ln x + x 2 ln x ' e x 2 ln x

f ' x = 2 x ln x + x e x 2 ln x

Show de bola, agora vamos checar o sinal da primeira derivada. Ela será estritamente crescente se for sempre positiva e terá um ponto de mínimo se a inclinação for negativa pra algum x . De qualquer forma vamos precisar igualar à 0 pra saber. Então vamos ter:

2 x ln x + x e x 2 ln x = 0

Como funções exponenciais nunca são iguais à 0 ficamos com:

2 x ln x + x = 0

2 x ln x = - x

ln x = - 1 2

x = 0,61

Então vamos ter sim um ponto crítico! Pra checar se esse ponto vai ser de mínimo, vamos escolher pontos antes e depois desse x . Pra x = 0,5 , temos:

f ' 0 , 5 = 2 . 0,5 . ln 0,5 + 0,5 e 0,5 2 ln 0,5 = - 0,16 < 0

f ' 1 = 2 . 1 . ln 1 + 1 e 1 2 ln 1 = 1 > 0

Se a inclinação era negativa antes e positiva depois, então x = 0,61

É de fato um ponto de mínimo! Fechamos então com chave de ouro a questão, e a única opção que engloba tudo que vimos é:

L e t r a   D

Resposta

L e t r a   D

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