Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 12

Prove a desigualdade x - x 3 6 < sin x   ,   x > 0 .

Passo 1

Enunciar o teorema do valor médio

Provar inequações as vezes pode dar uma dorzinha de cabeça e uma enrolada na mente, eu sei, mas com calma a gente chega lá. Vamos lembrar do teorema do valor médio primeiro e ver se conseguimos algo dele. Seja f x contínua entre a , b , tal que f ( a ) f b , então existirá um número c tal que c a , b que satisfaz:

f ' c = f b - f a b - a

Mas pera, nosso enunciado já nos diz que f 0 = 0 . Show de bola, vamos então definir:

a , b = 0 , x

E ficar com:

f ' c = f x - f 0 x - 0

f ' c = f x - f 0 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Achar uma expressão para f x e f ' c e coloca-la na inequação

Pra isso, vamos ter que dar uma boa olhada no nosso enunciado. Se chamarmos:

f x = sin x + x 3 6 - x

Vamos ter que:

f x = x f ' c + f 0 > 0

Opa, vamos primeiro encontrar f 0 :

f 0 = sin 0 + 0 3 6 - 0 = 0

E depois derivar f x , ficando com:

f ' x = sin x + x 3 6 - x '  

f ' x = 1 2 2 cos x + x 2 - 2  

x f ' c = x 2 2 cos c + c 2 - 2  

E jogando na inequação:

x f ' c > 0

x 2 2 cos c + c 2 - 2 > 0

Pra esse produto ser positivo, como x > 0 , necessariamente temos que ter:

2 cos c + c 2 - 2 > 0

Eita, caímos em outra inequação que temos que provar. Vamos então partir dessa pra chegar no final da nossa questão e partir pro abraço.

Passo 3

Provar a segunda inequação 2 c o s   c + c 2 - 2 > 0

Opa, de novo aqui cabe usar o TVM. A próxima inequação pra provar é:

2 cos c + c 2 - 2 > 0   ,     c   0 , x

Oras, mas isso é exatamente o mesmo que:

2 cos c + c 2 - 2 > 0   ,     c > 0

2 cos x + x 2 - 2 > 0   ,     x > 0

Se escolhermos então:

a , b = 0 , x

Vamos ficar com:

f ' c = f x - f 0 x - 0

f ' c = f x - f 0 x

Show de bola, como nós tínhamos 2 c o s   x + x 2 - 2 > 0 , podemos chamar essa função feia ai de:

f x = 2 c o s   x + x 2 - 2

f 0 = 2 c o s   0 + 0 2 - 2 = 0

f x = x f ' c > 0

Vamos derivar agora de novo e obter uma expressão reduzida pra inequação e mais fácil de resolver, beleza? Saca só:

f ' x = 2 c o s   x + x 2 - 2 '  

f ' x = - 2 sin x + 2 x  

x f ' c = x - 2 sin c + 2 c  

E jogando na inequação:

x f ' c > 0

x - 2 sin c + 2 c > 0

Pra esse produto ser positivo, como x > 0 , necessariamente temos que ter:

- 2 sin c + 2 c > 0

sin c < c

Puts, mais uma? É meu amigo, pois é! Mas relaxa que essa é até pequena, então devemos terminar ela rapidinho. Vamo que vamo então:

Passo 4

Provar a terceira inequação s i n   x < x

Maaais uma vez vamos usar o TVM, ok? Relaxa que ta acabando. A próxima inequação pra provar é:

sin c < c   ,   c   0 , x

O que é exatamente o mesmo que:

sin c < c   ,     c > 0

sin x < x   ,     x > 0

Se escolhermos então:

a , b = 0 , x

Vamos ficar com:

f ' c = f x - f 0 x - 0

f ' c = f x - f 0 x

E como nós temos sin x < x , é uma escolha interessante fazermos:

f x = sin x

E, logo, vamos ter:

f 0 = sin 0 = 0

cos c = s i n x x

Vamos lembrar de uma propriedade importante dos senos e cossenos:

- 1 cos c 1

Maravilha, agora é só substituir:

- 1 s i n x x 1

- x s i n x x

s i n x x

E pronto, tai provado. Provando a terceira inequação provamos também a segunda, que por sua vez prova a primeira. Ufa, acabou!

Resposta

x - x 3 6 < sin x   ,   x > 0 é provado como verdadeiro.

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