Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 11

Prove a desigualdade cos x > 1 - x 2 2   ,   x 0 . (Sugestão: prove para x > 0 e e depois use o fato de que as funções de ambos os lados são pares)

Passo 1

Enunciar o teorema do valor médio

Provar inequações as vezes pode dar uma dorzinha de cabeça e uma enrolada na mente, eu sei, mas com calma a gente chega lá. Vamos lembrar do teorema do valor médio primeiro e ver se conseguimos algo dele. Seja f x contínua entre a , b , tal que f ( a ) f b , então existirá um número c tal que c a , b que satisfaz:

f ' c = f b - f a b - a

Mas pera, nosso enunciado já nos diz que f 0 = 0 . Show de bola, vamos então definir:

a , b = 0 , x

E ficar com:

f ' c = f x - f 0 x - 0

f ' c = f x - f 0 x

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Passo 2

Achar uma expressão para f x e f ' c e coloca-la na inequação

Pra isso, vamos ter que dar uma boa olhada no nosso enunciado. Se chamarmos:

f x = cos x + x 2 2 - 1

Vamos ter que:

f x = x f ' c + f 0 > 0

Opa, vamos primeiro encontrar f 0 :

f 0 = cos 0 + 0 2 2 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0

E depois derivar f x , ficando com:

f ' x = cos x + 2 x 2 - 1 '  

f ' x = x - sin x  

x f ' c = x c - sin c  

Show de bola, tacando tudo na inequação:

x f ' c > 0

x c - sin c > 0

Pra esse produto ser positivo, como x > 0 , necessariamente temos que ter:

c - sin c > 0

sin c < c

Eita, caímos em outra inequação que temos que provar. Mas bem, se provarmos ela, vamos estar automaticamente provando a primeira. Então vamos lá:

Passo 3

Provar a segunda inequação s i n   c < c

Opa, de novo aqui cabe usar o TVM. A próxima inequação pra provar é:

sin c < c   ,   c   0 , x

Oras, mas isso é exatamente o mesmo que:

sin c < c   ,     c > 0

sin x < x   ,     x > 0

Se escolhermos então:

a , b = 0 , x

Vamos ficar com:

f ' c = f x - f 0 x - 0

f ' c = f x - f 0 x

Show de bola, como nós temos sin x < x , é uma escolha interessante fazermos:

f x = sin x

E, logo, vamos ter:

f 0 = sin 0 = 0

cos c = s i n x x

Opa, mas vamos lembrar de uma propriedade importante dos senos e cossenos:

- 1 cos c 1

Maravilha, agora é só substituir:

- 1 s i n x x 1

- x s i n x x

s i n x x

E pronto, tai provado. Provando a segunda inequação provamos também a primeira. Uhuul.

Passo 4

Provar que o mesmo vale x < 0 usando a definição de função par

As sugestões não estão lá a toa né, então vamos primeiro provar que cada função é par. Uma função par é definida como uma função onde:

f x = f - x

Pras duas funções na inequação, temos:

cos x = cos - x

E temos também:

1 - 2 x 2 = 1 - 2 - x 2

1 - 2 x 2 = 1 - 2 x 2

Então realmente temos duas funções pares. Só que funções pares são funções simétricas em relação ao eixo y . Então uma vez que cos x > 1 - 2 x 2 é uma verdade de um lado do eixo, também será do outro.

Resposta

cos x > 1 - 2 x 2   ,   x 0 é provado como verdadeiro.

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