Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

USP, Cálculo 1, P2 - 2013, Questão 1 a

Seja f x = 1 + 4 ln x x 4 - 3 . Admita que f ' x = - 16 ln x x 5 .

a ) Determinar os intervalos abertos nos quais f é estritamente crescente e nos quais é estritamente decrescente;

Passo 1

Em primeiro lugar, olhamos para f ( x ) para determinar o domínio. O ln x força o domínio a ser ] 0 , + [ . Agora, para decidir se f ( x ) decresce ou cresce devemos olhar para a derivada: onde é positiva cresce, onde é negativa decresce. Já recebemos a derivada:

f ' x = - 16 ln x x 5

Temos que ln x é negativo em ] 0,1 [ e positivo de 1 até , assim - ln x terá os sinais exatamente trocados em relação ao ln x . Já o x 5 tem seu sinal dependente de x apenas, como o domínio começa a partir de 0 , x 5 é sempre positivo.

Concluímos, então, que f ( x ) é crescente entre 0 e 1 e decrescente a partir daí, com o detalhe de que temos um ponto crítico de máximo no 1 .

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Resposta

f ( x )   é   c r e s c e n t e   e n t r e   0   e   1   e   d e c r e s c e n t e   a   p a r t i r   d a í

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