Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2016.2, Questão 2

Seja f x = x 2 1 cos π t d t

  1. Calcule a derivada de f
  2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em 0 ,   f 0
  3. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f para x 0 ,   2

Passo 1

Letra a) CUIDADO! Embora pareça um problema de integração, aqui você não precisa calcular nenhuma integral não!

Ué, mas como você sabe disso?

Sei, porque ele pediu a derivada, e tem como da gente derivar uma integral dessa forma sem calcula-la, bastando aplicar o teorema fundamental do cálculo!

Me acompanha aqui ;D

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Passo 2

O teorema fundamental do cálculo nos diz o seguinte:

g x h x f t d t ' = f h x h ' x - f g x g ' x

Onde por comparação com os dados que a gente têm

x 2 1 cos π t d t

Podemos dizer que

f t = cos π t

g x = x 2

h x = 1

Perceba em primeira mão que h ' x = 0 , portanto aquele primeiro termo do teorema desaparece, no nosso caso

g x h x f t d t ' = - f g x g ' x    

x 2 1 cos π t d t = - f g x g ' x

g ' x = 2 x , portanto

x 2 1 cos π t d t = - 2 x   f g x

Agora, quem é esse termo aqui f g x ?

Pow, esse termo aí tá nos dizendo para no lugar de t , jogar a função g x = x 2 , ou seja

f t = cos π t                         f g x = cos π x 2

Portanto

f ' x = x 2 1 cos π t d t = - 2 x   cos π x 2

Passo 3

Letra b) Pow, primeiramente quem é o ponto 0 ,   f 0 ? A coordenada x ta ok, mas e essa f ( 0 ) ?

Temos que descobrir isso antes de qualquer coisa

Mas cara, se ele te deu a função f x , joga o 0 lá e vamos ver no que vai dar, bora?

f x = x 2 1 cos π t d t               s u b s t i t u i n d o   o z e r o                     f 0 = 0 1 cos π t d t

Então vem comigo calcular essa integral aí.

Passo 4

Pra gente resolver essa integral, devemos antes passar aquele termo π para dentro da raiz, o que não é muito complicado, pois basta elevar ele ao quadrado de volta, dessa forma aqui

0 1 cos π t d t = 0 1 cos π 2 t d t

Como temos uma raiz aí, podemos pensar em fazer uma substituição de forma que cancele essa raiz, ou seja, vamos chamar π 2 t de

π 2 t = a 2

Porque assim π 2 t = a 2 = a , percebeu?

π 2 d t = 2 a   d a             o u             d t = 2 π 2 a   d a

Toda mudança nos pede que troque os limites de variação...

t = 0                             a 2 = 0                             a = 0

t = 1                             a 2 = π 2                             a = π

substituindo tudo...

0 1 cos π 2 t d t = 0 π cos a 2 π 2 a   d a

2 π 2 0 π a cos a   d a

Passo 5

Podemos agora, para resolver essa integral aí, fazer uma integração por partes, onde o a vai ser o que vai derivar, pois assim ele desaparece, percebeu?

u = a                               l o g o                               d u = d a     : )

d v = cos a d a                     q u a l   é   a   f u n ç ã o   q u e   a   d e r i v a d a   é   o   c o s s e n o ?                       v = sin a

Logo, comparando com a fórmula de integração por partes...

u d v = u v - v d u

comparando

a cos a d a = a sin a - sin a d a

essa outra integral mata direto ;D

a cos a d a = a sin a - - cos a =

a sin a + cos a

Logo

2 π 2 0 π a cos a   d a = 2 π 2   a sin a + cos a 0 π =

substituindo os limites

2 π 2 π sin π + cos π - 0 sin 0 + cos 0 =

2 π 2 π 0 - 1 - 0 + 1 =

- 4 π 2

Logo, concluímos que o ponto que queremos é 0 ,   f 0 = 0 ,   - 4 π 2 .

Passo 6

Cara, a gente sabe lá da definição de derivada que ela é a o coeficiente angular da reta tangente, então a reta tangente se escreve

y = m x + h

onde o m é a derivada no ponto que a gente quer calcular, ou seja, já vimos que

f ' x = - 2 x   cos π x 2

então

f ' 0 = - 2   0 cos π 0 2 = 0

então, a reta tangente é

y = 0 x + h  

y = h

Pra encontrar h , basta substituir o ponto 0 ,   - 4 π 2 , que está em cima da reta tangente, ou seja

- 4 π 2 = h

Logo, a reta tangente é

y = - 4 π 2

Passo 7

Letra c) então, para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, a gente tem que analisar aqui o sinal da primeira derivada, lembra?

f ' x = - 2 x   cos π x 2

Mas calma que a gente só quer avaliar isso, dentro do intervalo 0 ,   2 , heim!

Pow! a gente já viu que x 2 = x , mas como a gente vai analisar em um intervalo positivo, não necessitamos desse módulo, pegou?

f ' x = - 2 x   cos π x

Vamos fazer o seguinte agora:

  1. Primeiro vamos fazer um esboço do gráfico do cosseno cos π x
  2. Depois vamos fazer o mesmo para a função - 2 x
  3. analisar o produto de cada uma separadamente e depois fazer o produto deles, sacou?

Passo 8

Vamos começar com o gráfico do cosseno.

Já temos uma noção desse gráfico, basta agora a gente determinar os pontos que ele toca o eixo x dentro desse limite dado.

O cosseno só é 0 , quando

π x = π 2               o u   m u l t i p l o s   i m p a r e s   c o m o         π x = 3 π 2

nesses casos, podemos determinar dentro do intervalo 0 ,   2 de x que isso acontece, que no caso é

x = 1 2             e           x = 3 2

O próximo seria x = 5 2 que já está fora do intervalo, percebeu?

Desenhando esse cosseno

Passo 9

Vamos analisar agora o sinal da função - 2 x .

Bem, essa daí é uma reta que passa pela origem e decrescente, ou seja

ela é negativa no nosso intervalo

Passo 10

Multiplicando os sinais de uma com a outra, ou seja

De 0 até ½

De ½ até 3/2

De 3/2 até 2

- 2 x

Negativo

Negativo

Negativo

cos π x

Positivo

Negativo

Positivo

f ' x

(produto das duas)

Negativo

Positivo

Negativo

Portanto, onde o sinal da deriva é positivo, ou seja de 1 2 até 3 2 , podemos dizer que a função cresse, já nos outros dois, ela decresce

Resposta

Letra a)

f ' x = - 2 x cos π x

Letra b)

y = - 4 π 2

Letra c)

x 1 2 , 3 2               C r e s c e n t e

x 0 , 1 2               D e c r e s c e n t e

x 3 2 , 2             D e c r e s c e n t e

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