(b) Ache os pontos dos parâmetros A e B para que a função seja continua em x = 1   , onde f é definida por

f x =   x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 + A ,       s e   x > 1 2                                                         ,         s e   x = 1 x 2 - B + 1 x + B x - 1 ,     s e   x < 1

Passo 1

Para que a função seja contínua, precisamos:

lim x → 1 ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Para que o limite exista, precisamos que os limites laterais sejam iguais e, portanto:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = f 1 = 2

Para valores menores que 1 (à esquerda de 1 ), temos : f x = x 2 - B + 1 x + B x - 1

Então:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = l i m x → 1 - x 2 - B + 1 x + B x - 1 = 2

Para calcular esse limite, vamos escrever o polinômio de segundo grau do numerador como o produto de suas raízes. Para acha-las usamos ele mesmo, Bhaskara!

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = B + 1 ± B + 1 2 - 4 B 2

Distribuindo na raiz, temos:

( B 2 + 2 B + 1 ) - 4 B = B 2 - 2 B + 1 = B - 1 2 = B - 1

Considerando B > 1 e substituindo, temos:

x = B + 1 ± ( B - 1 ) 2 ⟹ x 1 = B x 2 = 1

Considerando B < 1 e substituindo, temos:

x = B + 1 ∓ ( B - 1 ) 2 ⟹ x 1 = 1 x 2 = B

As raízes são iguais, então independentemente do valor de B , podemos reescrever o limite da seguinte forma:

l i m x → 1 - x 2 - B + 1 x + B x - 1 = l i m x → 1 - ( x - B ) ( x - 1 ) x - 1 = 2

Opa! Dá para cortar numerador e denominador agora!

l i m x → 1 - ( x - B ) ( x - 1 ) x - 1 = l i m x → 1 - x - B = 1 - B = 2

Isolando nosso amigo B :

B = - 1

Passo 2

Ainda não acabou, precisamos achar o valor de A . Para x > 1 (à direita de 1 ):

f x = x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 + A

E, portanto:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 + A = l i m x → 1 + x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 + l i m x → 1 + A = 2

Temos que:

l i m x → 1 + A = A

Resta calcular o limite da esquerda...

Hummm... Temos aí uma indeterminação dentro do argumento do seno, então podemos tentar usar o teorema do confronto aqui.

Independentemente do que acontece no argumento, sempre temos que:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x - 1 ≤ 1

Vamos tentar transformar essas inequações na expressão do nosso limite. Para isso, multiplicamos tudo por x - 1 2 :

- x - 1 2 ≤   x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 ≤ x - 1 2  

Aplicando o limite:

- l i m x → 1 + x - 1 2 ≤   l i m x → 1 + x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 ≤ l i m x → 1 + x - 1 2  

Então, calculando os limites à esquerda e direita:

0 ≤ l i m x → 1 + x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 ≤ 0

Então, pelo Teorema do confronto ou sanduiche, temos que:

l i m x → 1 + x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 = 0

Logo, o nosso limite vai ser:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = l i m x → 1 + x - 1 2 sen ⁡ 1 x - 1 + l i m x → 1 + A = 0 + A = 2

∴ A = 2

Onde aqueles três pontinhos bonitos significam “portanto” para os íntimos.

Resposta

A = 2 ; B =   - 1

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2