Seja

f x , y = y 3 x 2 + y 2 ,               x ,   y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                                         x , y = ( 0,0 )

  1. Determine se f é contínua no ponto ( 0,0 ).
  2. Determine se f é diferenciável no ponto (0,0).

Passo 1

Falem meus consagrados! Essa questão envolve um pouquinho mais de teoria, mas segue um passo a passo que nem as outras.

Uma função f é contínua em um ponto p, se

l i m   x , y → p   f x , y = f ( p )

Ou seja, se o limite da função tendendo a um ponto é igual ao valor da função neste ponto.

Fora da origem a função é contínua, pois em frações de função, sendo o numerador y 3 uma função contínua e o denominador x 2 + y 2 uma função contínua não nula, então a fração por si só é contínua.

Passo 2

Pra gente descobrir o limite dessa função na origem, eu vou fazer uma sacada aqui meio louca, mas presta atenção. Vou pegar uma função parecida com a nossa f ( x ) , mas com y 2 no numerador. E vou fazer isso, porque eu sei que essa função está restrita ao seguinte intervalo:

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ 1 ,         x , y ≠ ( 0,0 )

Agora vou multiplicar tudo por y , porque desta forma, vamos chegar à nossa f x que o enunciado deu. E vou fazer essa multiplicação, considerando que y > 0 e o ponto ( x , y ) na vizinhança de 0,0 :

0 ≤ y 3 x 2 + y 2 = f ( x , y ) ≤ y ,         x , y ≠ ( 0,0 )

E agora você repara que:

lim x , y → 0,0 ⁡ 0 = lim x , y → 0,0 ⁡ y = 0

Então, pelo Teorema do Confronto:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y = 0

Então repara que fizemos toda essa manipulação pra poder usar o Teorema do Confronto. Fica ligado porque é bem comum ter que fazer algo desse tipo: restringir uma função parecida a um intervalo conhecido e depois multiplicar por algum termo, de forma que a gente chegue à nossa função original no meio da inequação e que os extremos da inequação possuam limites iguais.

Vamos fazer de novo agora pros valores negativos de y!

Passo 3

Novamos temos que:

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ 1 ,         x , y ≠ ( 0,0 )

Multiplicando tudo por y , para y < 0 , com ( x , y ) na vizinhança de 0,0 , temos:

y ≤ y 3 x 2 + y 2 = f ( x , y ) ≤ 0 ,         x , y ≠ ( 0,0 )

Percebemos que

lim x , y → 0,0 ⁡ 0 = lim x , y → 0,0 ⁡ y = 0

E pelo Teorema do Confronto,

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y = 0

Passo 4

Se os limites laterais são iguais, podemos afirmar que:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y = 0

E o limite é igual ao valor da função na origem:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f x , y = f 0,0 = 0

Ou seja, além de f ser contínua fora da origem, é contínua também em ( 0,0 ) , logo f é contínua em R 2 .

Resposta

f é contínua em R 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1