Considere a função f : I R → I R definida por:

f x = a ,     s e   x = 0 sin ⁡ x x - 2 3 x ,     s e   x ≠ 0

(a) Determine o valor de a ∈ I R para que f seja contínua em x = 0

Passo 1

Opa, bora começar então! Veja vem, temos uma função definida por partes, não é mesmo? Bem, pra qualquer função contínua, vai ser sempre verdade:

lim x → c - ⁡ f x = lim x → c - ⁡ f x = f c

Então pra encontrar um valor de a que faça essa função ser contínua em x = 0 , basta a gente substituir c = 0 . Vamos ter:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f x = f 0

Como os limites laterais são os mesmos, podemos simplificar ainda mais:

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

E agora é mole! Só substituir e fazer as contas:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x - 2 3 x = a

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x ∙ lim x → 0 ⁡ x - 2 3 = a

Sendo o primeiro o limite fundamental trigonométrico, temos:

1 ∙ - 2 3 = a

a = - 2 3

E prontinho! Esse é o valor de a para que f x seja contínua

Resposta

a = - 2 3

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1