Discuta a continuidade de f :

c) f x ,   y = x + y x 2 + y 2     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente discutir a continuidade da função f ( x ,   y ) que é definida por partes. E, galera, a continuidade pra funções de 2 variáveis não tem nenhuma grande novidade em relçao à continuidade nas funções de uma variável.

Dizemos que uma função é contínua em um ponto ( x 0 ,   y 0 ) se o limite for igual ao valor da função naquele ponto, ou seja:

lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ f x ,   y = f ( x 0 ,   y 0 )

Então, o que vamos fazer é calcular o limite no lugar onde a função tem uma indeterminação, que no caso é o ponto ( 0 ,   0 ) , e verificar se o limite existe e seu resultado é o mesmo da função naquele ponto.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar verificando se o limite de f ( x ,   y ) , para x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) , tendendo ao ponto ( 0 ,   0 ) existe. Um dica: o fato do grau do numerador, que é 2 , ser menor que o grau do denominador, que é 4 , é um forte indício de que esse limite não existe. Então, vamos tentar calculá-lo por caminhos diferentes.

Escolhendo um caminho genérico através da reta y = m x , temos:

l i m x ,   y → ( 0 ,   0 ) x + y x 2 + y 2 = l i m x ,   y → ( 0 ,   0 ) x + ( m x ) x 2 + ( m x ) 2

l i m x ,   y → ( 0 ,   0 ) x + m x x 2 + m 2 x 2

Colocando x em evidência:

l i m x ,   y → ( 0 ,   0 ) x ( 1 + m ) x 2 ( 1 + m 2 )

Simplificando:

l i m x ,   y → ( 0 ,   0 ) 1 + m x ( 1 + m 2 )

Assim, quando x tende a zero, temos:

l i m x ,   y → ( 0 ,   0 ) 1 + m x ( 1 + m 2 ) = ∞

Opa, então esse limite não existe! Se ele não existe, não é possível definir a função no ponto ( 0 ,   0 ) e dizemos que ela é descontínua na origem.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   d e s c o n t í n u a   e m   ( 0 ,   0 )

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1