Sabe-se que f é contínua em 2 e que f ( 2 ) = 8 . Mostre que existe δ > 0 tal que para todo x ∈ D f

2 - δ < x < 2 + δ → f ( x ) > 7 .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Nos é indicada uma função f contínua em x = 2 , tal que f ( 2 ) = 8 . Precisamos mostrar que para um δ > 0 , para qualquer valor no domínio da função, x ∈ D f , a seguinte relação é verdade

2 - δ < x < 2 + δ → f ( x ) > 7 .

O lado esquerdo da afirmação acima está relacionado à definição formal de continuidade, mas isso nos implica algumas coisas a mais! Saca só!

Passo 2

Note que a definição formal de continuidade garante que se existe δ > 0 tal que ao redor de um ponto em que a função é contínua, em nosso caso x = 2 , podemos garantir que

2 - δ < x < 2 + δ

Mas, esta necessidade nos garante que existe um ϵ > 0 , tal que quando avaliamos a função, obtemos

f ( 2 ) - ϵ < f ( x ) < f ( 2 ) + ϵ

válido porque estamos avaliando as proximidades de x = 2 . Usando o valor dado para f ( 2 ) , temos que

8 - ϵ < f ( x ) < 8 + ϵ

como a expressão vale para qualquer valor de ϵ , temos que no caso ϵ = 1 , obtemos

7 < f ( x ) < 9

ou seja, existe δ > 0 , tal que

f ( x ) > 7

Note que não é preciso mostrar que f ( x ) é sempre maior que 7 , apenas que sob uma escolha de ϵ existirá a possibilidade! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1