Seja a um número real não nulo tal que a função f definida por

f x = x 2 + 6 a x + a 2 ,       s e   x ≤ 5 11 x + 34 a - 30 ,       s e   x > 5

É contínua em todo domínio. O valor de f ( - 1 ) é

Escolha uma:

a ) - 5

b ) - 9

c ) - 7

d ) - 13

e ) - 17

Passo 1

Falaaaa, beleza?? Bora olhar para essa segunda questão dessa prova.

Essa aqui é bem parecida com a primeira, ela cita uma função contínua e pede o valor dela em um ponto. Para que uma função seja contínua, precisamos que algumas coisas ocorram, vamos lembrar?

De forma um pouco menos formal, dizemos que f é contínua em todo ponto, se em cada ponto de f temos:

lim x → a ⁡ f x = f ( a )

Além desse limite ser igual a f ( a ) , para o limite existir tem outra coisinha que deve rolar, consegue lembrar?

Para isso, precisamos que:

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x )

Passo 2

Então bora lá, como o enunciado diz que a função é contínua essas coisinhas tem que acontecer, bora começar fazendo:

lim x → 5 - ⁡ f x = lim x → 5 + ⁡ f ( x ) ⁡

Nesse caso, vamos tomar f x = x 2 + 6 a x + a 2 quando x → 5 - , uma vez que quando isso ocorre iremos analisar f sobre valores menos que 5 . Pela mesma ideia, vamos tomar 11 x + 34 a - 30 quando x → 5 + , bora lá:

lim x → 5 - ⁡ x 2 + 6 a x + a 2 = lim x → 5 + ⁡ 11 x + 34 a - 30

E dai, temos que:

25 + 30 a + a 2 = 55 + 34 a - 30

Ou seja:

a 2 - 4 a = 0

Temos que as soluções são a = 4   e   a = 0 .

Porém, pelo enunciado, temos que a é não nulo, ou seja, o valor correto é a = 4

Passo 3

Por isso, temos algo do tipo:

f x = x 2 + 24 x + 16 ,       s e   x ≤ 5 11 x + 136 - 30 ,       s e   x > 5

Ou seja:

f x = x 2 + 24 x + 16 ,       s e   x ≤ 5 11 x + 1 0 6             ,       s e   x > 5

Como queremos calcular f ( - 1 ) , vamos substituir x = - 1 na primeira opção:

f - 1 = - 1 2 + 24 - 1 + 16 = 1 - 24 + 16 = - 7  

E assim chegamos ao fim de mais um problema, bora para o próximo?

Resposta

Letra C

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1