4) Determine os valores das constantes A e B , de tal forma que a função f definida por:

f x = 3 x , s e x ≤ 2 A x + B , s e 2 < x < 5 - 6 x , s e x ≥ 5

Seja continua no intervalo - ∞ , ∞ .

Passo 1

Faaaaala aí! Tudo certinho por aí?

Bora comigo pra mais uma questão!

Bom, a primeira coisa é entender o que o enunciado está querendo que a gente faça. Nesse caso ele traz uma função que é dada por partes.

f x = 3 x , s e x ≤ 2 A x + B , s e 2 < x < 5 - 6 x , s e x ≥ 5

Mas o que isso significa???

Isso quer dizer que em cada intervalo apresentado a função terá uma carinha diferente, veja:

Para valores de x ≤ 2 , a função deve assumir essa carinha aqui:

f x = 3 x

Para valores de x onde 2 < x < 5 , ela já assume a forma:

f x = A x + B

E para valores de x ≥ 5 , a função é:

f x = - 6 x

O problema pede para que a gente encontre os valores de A e de B de modo que f x seja uma função contínua no intervalo - ∞ , ∞ . Isso quer dizer que não pode haver saltos nem buracos no gráfico da função. Assim, onde termina um intervalo, deve já começar o outro no mesmo ponto.

Com essa ideia, seremos capazes de descobrir quem é A e quem é B . Vem comigo que te mostro como. 😊

Passo 2

Como vimos, no ponto onde termina um intervalo, já logo tem que começar o outro. Isso quer dizer que os extremos serão coincidentes.

Para o primeiro intervalo da função, temos que x ≤ 2 . Ou seja, os valores de x vêm lá do - ∞ e para em x = 2 . E a função na fronteira do intervalo será igual a:

f 2 = 3 ⋅ 2 = 6

Já o segundo intervalo é 2 < x < 5 , ou seja, as fronteiras são 2 e 5, e a função assume o valor de:

f x = A x + B

Como queremos que a função seja contínua, as fronteiras precisam ser iguais, por isso vamos igualar as funções em x = 2

6 = A ⋅ 2 + B

E para o extremo inferior ficamos com:

2 A + B = 6

Agora vamos ver o valor na função no último intervalo, que é para valores de x ≥ 5 , a função é:

f 5 = - 6 ⋅ 5

f 5 = - 30

E também podemos igualar os extremos no ponto x = 5 , ficando com:

- 30 = A ⋅ 5 + B

5 A + B = - 30

Essas relações ajudam a gente a obter um sistema que vamos resolver no próximo passo.

Passo 3

Até aqui fomos capazes de ver que:

2 A + B = 6

5 A + B = - 30

Agora basta resolver o sistema, fazendo

B = 6 - 2 A

Substituindo na equação de baixo, ficamos com:

5 A + 6 - 2 A = - 30

3 A = - 36

A = - 12

Voltando para encontrar B , teremos:

B = 6 - 2 ⋅ - 12

B = 6 + 24

B = 30

E assim concluímos mais uma questão.

Partiu olhar a próxima!!! 😊

Resposta

A = - 12

B = 30

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1