Dada a função f definida por

Estude a continuidade de f em x = 1 . Defina f em x = 0 de modo a tornar f contínua neste ponto.

Passo 1

Oiiie, tudo bem com você?

Temos uma função que é particionada em três intervalos definidos da seguinte maneira

E o enunciado quer que analisemos a continuidade desta função quando x = 1 . Além disso, o enunciado pede que nós mudemos esta definição acima para que a função seja contínua em x = 0 . Okay, mas como podemos fazer isso? A continuidade de uma função pode ser vista como a possibilidade de desenhar o gráfico desta função sem tirar o seu lápis do papel em nenhum momento. Mas e matematicamente, é possível mostrar que isso acontece?

Se você seguir o gráfico de uma função contínua, não importa de qual lado (esquerdo ou direito) você comece a desenhar a função, você passará pelos mesmos pontos, se ela for contínua nestes pontos. Em particular, se queremos checar se ela é contínua em x = 1 , é preciso que não importando de que lado estamos desenhando a função, a gente passe por este ponto, sem tirar o lápis do papel. O que se traduz na igualdade dos limites laterais

l i m x → 1 + f ( x ) = L

que é o limite pela direita, e

l i m x → 1 - f ( x ) = L

que é o limite pela esquerda! Se os limites existem e são iguais, a função é contínua em x = 1 , então bora lá!

Passo 2

Vamos começar com o limite pela direita, ou seja, vamos calcular

l i m x → 1 + f ( x )

Se estamos analisando a função vindo pela direita de x = 1 , então estamos usando valores de x maiores que 1, x > 1 , neste intervalo temos que nossa função é

f ( x ) = x + 2

Utilizando isso em nosso limite, e avaliando quando x = 1 , temos que

l i m x → 1 + x + 2 = 1 + 2

Ou seja, temos que

l i m x → 1 + f ( x ) = 3

Agora, precisamos verificar o limite pela esquerda! O processo é análogo ao que fizemos neste passo! Vem comigo!

Passo 3

O limite pela esquerda, ou seja

l i m x → 1 - f ( x )

Mas, como estamos vindo pela esquerda de x = 1 , estamos pegando valores menores que 1 , x < 1 . O intervalo da função mais próximo de x = 1 pela esquerda é o intervalo 0 < x ≤ 1 , em que a função é definida como

f ( x ) = 3 x 2 + 1

Utilizando esta definição em nosso limite, e avaliando quando x = 1 , temos que

l i m x → 1 - 3 x 2 + 1 = 3 ( 1 ) 2 + 1

Que resulta em

l i m x → 1 - 3 x 2 + 1 = 4

Como temos que

l i m x → 1 - f ( x ) ≠ l i m x → 1 + f ( x )

Temos que função é descontínua em x = 1 . Beleza! Isso é a primeira parte do problema resolvida! Agora vamos só finalizar com a análise para garantir a continuidade em x = 0 . Consegue enxergar quando isso acontece?

Passo 4

Saca só! Nós queremos que a função

Seja contínua em x = 0 , da mesma forma que fizemos nos passos anteriores, precisamos analisar os limites laterais, mas agora em torno de x = 0 , aqui nós temos que pela direita, ou seja, valores poucos maiores que x = 0 , a função é definida como

f ( x ) = 3 x 2 + 1

e, o limite pela direita é tal que

l i m x → 0 + f ( x ) = l i m x → 0 + 3 x 2 + 1 = 3 ( 0 ) + 1

em que avaliei o limite em x = 0 , resultando em

l i m x → 0 + f ( x ) = 1

Analogamente, podemos fazer o processo pela esquerda, ou seja, valores um pouco menores que x = 0 , a função neste intervalo é definida como

f ( x ) = - x + 1

e, o limite lateral é

l i m x → 0 - f ( x ) = l i m x → 0 - - x + 1 = - 0 + 1

de forma que temos que

l i m x → 0 - f ( x ) = 1

Como temos que

l i m x → 0 + f ( x ) = l i m x → 0 - f ( x ) = 1

Então a função é contínua em x = 0 se fizermos apenas uma pequena modificação em nossa definição, note que os intervalos são - 1 ≤ x < 0 e 0 < x ≤ 1 . Ou seja, ela não tem valor exatamente em x = 0 . Adicionando uma igualdade em qualquer um dos intervalos, garantimos a continuidade de nossa função!

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1