Considere a função f ( x , y ) dada pela expressão

f x , y = { - 3 x y 2 - x 3 x 2 + y 2 ,     x , y ≠ ( 0,0 )   1 ,     x , y = ( 0,0 )  

  1. Se ( x 0 , y 0 ) ≠ ( 0,0 ) , explique se f é ou não contínua em x 0 , y 0 ). Em seguida, calcule
  2. f ( x , y )  

  3. Explique se f é ou não contínua em 0,0 .

Passo 1

Fala aí galerinha? Tudo bem com vocês? Bora pra cima! Primeiro, vamos atrás dessa continuidade que é pedida no item a). Vocês sabem o método mais conveniente para acharmos continuidade? É fazendo o teste do limite. Relaxa que eu te mostro: Temos que f ( x , y ) é o quociente de 2 funções:

- 3 x y 2 - x 3

E

x 2 + y 2

Ambas contínuas em R 2 . Então, para f ( x , y ) também ser contínua em f x 0 , y 0   com   ( x o , y o ) ≠ ( 0,0 ) , a função f ( x , y ) deve satisfazer o seguinte teste

f x , y =   f x 0 , y 0  

Isso implica tanto que f ( x o , y o ) existe no domínio de f ( x , y ) , como o f x , y   Existe. Vamo lá provar?

Passo 2

Pois bora lá provar. Vamos pela definição, tomar o conjunto de retas que passam por um ponto ( x 0 , y 0 ) como caminho para aproximação do ponto. O conjunto de retas é dado por: y = y o + m ( x - x o ) , como forma de aproximação para o nosso limite. Podemos então escrever:

f x , y   = - 3 x ( y o + m ( x - x o ) ) 2 - x 3 x 2 + y o + m ( x - x o ) 2

Desenvolvendo isso:

- 3 x 0 y 0 2 - x 0 3 x o 2 + y o 2 = f ( x o , y o )

Como o limite existe, isso caracteriza a continuidade da função em ( x o , y o ) . Showzinho, item a) provado.

Passo 3

Agora para provar a segunda parte, vamos agir semelhantemente aqui no item b). Vamos tomar os conjuntos de retas que passam pelo ponto ( 0,0 ) dados por y = m x como caminho para a aproximação do ponto ( 0,0 ) :

f x , y   = f x , m x  

f x , m x   = - 3 x ( m x ) 2 - x 3 x 2 + ( m x ) 2

f x , m x   = x 3 ( - 1 - 3 m 2 x ) x 1 + m 2

f x , m x   = x 2 ( - 1 - 3 m 2 x ) 1 + m 2 = 0

Qual a conclusão que a gente obtém aqui? Como todo limite observado pela aproximação pro esse conjunto de retas é igual a 0, mas a função (como a questão disse pra gente) diz que nesse ponto a função assume valor 1 . Ou seja, o valor que deveríamos encontrar pelo limite (que deu 0) é na verdade diferente (função assume valor 1 em (0,0)), portanto pode-se concluir que f ( x , y ) não é contínua em ( 0,0 ).

E é isso! WE DID IT!!!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

a )   C o n t i n u a

b ) N ã o   c o n t í n u a

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1