Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

c) g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Ooi pessoal, tudo na paz com vocês?

Nesse item precisamos verificar a função g ( x , y ) é contínua no ponto ( 0,0 ) .

g ( x , y ) é definida por partes do seguinte modo:

g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

Para verificar se uma função de duas variáveis é contínua em um determinado ponto precisamos analisar se a seguinte igualdade é verdadeira:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ g ( x , y ) = g ( x 0 , y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) é justamente o ponto que queremos ver se a função é contínua.

Então, nossa estratégia aqui vai ser primeiro calcular o limite do lado esquerdo da equação acima no ponto ( 0,0 ) e verificar se ele é igual a g ( 0,0 ) . Beleza?

Passo 2

Bom, queremos calcular:

lim x → 0 y → 0 ⁡ g x , y

E, a primeira pergunta que nos fazemos é qual a expressão que g assume quando x , y → ( 0,0 ) ?

Então, a nossa função g é definida por partes:

g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ 0,0 0 ,                           s e   x , y = 0,0

Quando ( x , y ) está tendendo a ( 0,0 ) , esse ponto ainda não foi atingido de fato. Assim, g ( x , y ) vale:

g x , y = x 2 y x 2 + y 2  

Portanto, o limite que devemos calcular é:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2

Pra calcular esse limite, o primeiro passo é substituir os valores que ( x , y ) estão tendendo dentro do limite e verificar se tem alguma impossibilidade matemática.

lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2 = 0 2 ⋅ 0 0 2 + 0 2 = 0 0

Isso é uma indeterminação matemática. Então, pra calcular o limite vamos precisar pensar um pouco mais...

Passo 3

Bom, continuando o cálculo do limite, já que caímos em uma indeterminação matemática o que podemos fazer pra calculá-lo?

Uma ideia bem legal no caso de limites de função de duas variáveis é usar o teorema do sanduíche.

A ideia do teorema do sanduíche é, inicialmente, mostrar que:

f x , y ≤ x 2 y x 2 + y 2 ≤ h ( x , y )

Isso válido sempre, pra quaisquer valores de x , y .  

Para a nossa função que está sendo analisado o limite, temos:

x 2 y x 2 + y 2

Bora analisar com calma. Vocês concordam que:

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Desenvolvendo um pouco:

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Multiplicando ambos os lados por y :

0 ⋅ y ≤ y ⋅ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1 ⋅ y

(Se y < 0 as desigualdades se invertem, mas nossa função continua limitada entre esses dois valores, beleza?)

Olha aí gente, conseguimos mostrar que nossa função está limitada entre outras duas!

0 ≤ y ⋅ x 2 x 2 + y 2 ≤ y

Essa é a primeira etapa do Teorema do Sanduíche.

Passo 4

Agora precisamos apenas aplicar o limite, pois conhecemos o valor que essas funções ( 0 e y ) assumem quando x e y tendem a zero).

Assim, aplicando o limite dos dois lados da desigualdade:

lim x → 0 y → 0 ⁡ 0 ≤ lim x → 0 y → 0 ⁡ y ⋅ x 2 x 2 + y 2 ≤ lim x → 0 y → 0 ⁡ y

Mas olha:

lim x → 0 y → 0 ⁡ 0 = 0

Enquanto:

lim x → 0 y → 0 ⁡ y = 0

Também vale zero. Olha que lindo!

Então, quando voltamos à nossa desigualdade, vamos ter que:

0 ≤ lim x → 0 y → 0 ⁡ y ⋅ x 2 x 2 + y 2 ≤ 0

Isso significa queeee??

Isso aí:

lim x → 0 y → 0 ⁡ y ⋅ x 2 x 2 + y 2 = 0

Passo 5

Pra finalizar, precisamos apenas calcular g ( 0,0 ) e verificar se é igual ao lim x → 0 y → 0 ⁡ y ⋅ x 2 x 2 + y 2 .

Como vimos, nossa função g ( x , y ) vale:

g x , y =   x 2 y x 2 + y 2 ,           s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                           s e   x , y = ( 0,0 )

Sendo assim, quando x , y = ( 0,0 ) , temos:

g 0,0 = 0

Além disso, no passo anterior chegamos que:

lim x → 0 y → 0 ⁡ y ⋅ x 2 x 2 + y 2 = 0

Ou sejaaa:

lim x → 0 y → 0 ⁡ y ⋅ x 2 x 2 + y 2 = g 0,0 = 0

Isso significa que a nossa função é contínua em ( 0,0 ) .

Eaí, conseguiram entender direitinho? Até a próxima 😊

Resposta

É contínua.

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1