Considere a função f : ℝ → ℝ   dada por

b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:

l i m x → 0 f ( x )

Passo 1

Oiii gente linda! Tá tudo bem por aí?

Xuxus, a questão nos dá uma função que possui o domínio e imagem no conjunto dos números reais. E a função em questão é uma função definida por partes, ou seja, dependendo do intervalo a equação da nossa função pode mudar sua identidade. Belezura?

Desse modo, vemos que quando o x   ≠   0 a função será definida como f ( x )   = x ²   -   9 .

Já quando o x     =   0 a função será constante e igual a 9 .

Passo 2

Contudo, o que a questão deseja é o limite de f ( x ) quando x   →   0 . Assim, devemos descobrir para onde essa função tende quando nos aproximamos do 0 de ambos os lados, ou seja, devemos descobrir se os limites laterais coincidem e se a função em questão é contínua. Caso um desses dois critérios não seja atendido declaramos que o limite da função não existe.

Passo 3

Inicialmente, verificaremos se a função f ( x ) é contínua. Pela definição matemática, uma função é contínua num ponto x   = a se:

l i m x → a f ( x )   =   f ( a )

Maravilha, essa relação é pra quando a função for contínua em um ponto certo? Aí você deve tá se perguntando então quando é que a função é completamente contínua? É quando essa regrinha é válida em todo o seu domínio, certo?

Observa-se que quando os limites laterais se aproximam do 0 , a função f ( x ) tende ao valor 9 :

l i m x → 0 + x ²   -   9 =   0 ²   -   9 =   9

l i m x → 0 - x ²   -   9 =   0 ²   -   9 =   9

Ótimo! Significa que os limites laterais são iguais!

Passo 4

Além disso, temos que

f ( 0 )   =   9

Dessa maneira conclui-se que

l i m x → 0 x ²   -   9   =   9     e   f ( 0 )   =   9

Assim,

l i m x → 0 x ²   -   9   =   f ( 0 )

O limite de l i m x → 0 x ²   -   9 existe e é igual a 9 .

Resposta

l i m x → 0 x ²   -   9 = 9

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1