Exercícios Resolvidos de Continuidade

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 21.

Verifique se a função é contínua no ponto indicado. Justifique a resposta.

f t = 1 - t 1 - t 3                       s e     t ≠ 1 3 / 2                                       s e   t = 1

Passo 1

Para que esse cara seja contínuo em t = 1 precisamos que:

lim t → 1 ⁡ f t = f 1

Já temos que f 1 = 3 2 . A questão se resume a verificar se

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3

Também valerá 3 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ao substituir t → 1 cairemos numa indeterminação do tipo 0 0 . Como encontramos ali duas diferenças, uma envolvendo raiz quadrada e outra envolvendo raiz cúbica, faz sentido calcular o limite através da multiplicação de seus conjugados. Para o termo de cima, teríamos:

1 - t = 1 - t 1 + t 1 + t = 1 - t 1 + t 1 + t

= 1 2 - t 2 1 + t = 1 - t 1 + t

Para o termo de baixo, com raiz cúbica, faremos o seguinte:

1 - t 3 = 1 - t 3 1 + t 3 + t 3 2 1 + t 3 + t 3 2 = 1 - t 3 1 + t 3 + t 3 2 1 + t 3 + t 3 2

= 1 3 - t 3 3 1 + t 3 + t 3 2 = 1 - t 1 + t 3 + t 3 2

Passo 3

Voltando tudo ao limite:

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3 = lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 + t 1 - t 1 + t 3 + t 3 2 = lim t → 1 ⁡ 1 + t 3 + t 3 2 1 + t

= 1 + 1 3 + 1 3 2 1 + 1 = 1 + 1 + 1 1 + 1 = 3 2

Enfim, comprovamos que

lim t → 1 ⁡ 1 - t 1 - t 3 = 3 2

E, portanto, a função será contínua.

Resposta

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e m   t = 1

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