Discuta a continuidade de f :

d) f x ,   y = x y x + y     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente discutir a continuidade da função f ( x ,   y ) que é definida por partes. E, galera, a continuidade pra funções de 2 variáveis não tem nenhuma grande novidade em relçao à continuidade nas funções de uma variável.

Dizemos que uma função é contínua em um ponto ( x 0 ,   y 0 ) se o limite for igual ao valor da função naquele ponto, ou seja:

lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ f x ,   y = f ( x 0 ,   y 0 )

Então, o que vamos fazer é calcular o limite no lugar onde a função tem uma indeterminação, que no caso é o ponto ( 0 ,   0 ) , e verificar se o limite existe e seu resultado é o mesmo da função naquele ponto.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche para verificar o limite.

Observe que

x y x + y = x x + y ⋅ y

Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema. Colocando a expressão entre extremos:

Se x > 0 :

0 ≤ x ≤ x + y

Dividindo por x + y :

⇒ 0 ≤ x x + y ≤ 1

Se x < 0 :

- x + y ≤ x ≤ 0

Dividindo por x + y :

⇒ - 1 ≤ x x + y ≤ 0

Juntando as duas desigualdades:

- 1 ≤ x x + y ≤ 1

Passo 3

Agora vamos multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

- 1 ≤ x x + y ≤ 1

Temos que multiplicar por y :

Se y > 0 :

- 1 ⋅ y ≤ x x + y ⋅ y ≤ 1 ⋅ ( y )

Se y < 0 , temos exatamente a mesma coisa, pois os extremos são iguais!

⇒ - y ≤ x y x + y ≤ y

Calculando os limites dos extremos:

l i m x , y → 0,0 ( - y ) ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) y

l i m x , y → 0,0 ( - y ) = 0

l i m x , y → ( 0,0 ) y = 0

Substituindo na desigualdade:

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y ≤ 0

Logo:

l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y = 0

Como na definição da função quando x ,   y = ( 0 ,   0 ) , temos f x ,   y = 0 , então, l i m x , y → 0,0 f x , y = f 0,0 = 0 . Assim, podemos dizer que a função é contínua em ( 0,0 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e m   t o d o   R 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1