1) Sejam a e b números reais tais que a função

f x = sin ⁡ ( 24 x ) x ,   s e   x < 0 x 2 + a x + b ,   s e 0 ≤ x ≤ 6 18 ,   s e   x > 6

É continua em toda parte. O valor de f ( 1 ) é

Escolha uma:

a) 18

b) 22

c) 16

d) 20

e) 14

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Nesse exercício utilizaremos um conceito fundamental no estudo de continuidade de funções. Se uma função é continua em determinado ponto, isso significa que o limite nesse ponto pela direita e pela esquerda serão iguais.

No nosso exercício então podemos dizer que:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( 24 x ) x = lim x → 0 ⁡ x 2 + a x + b

Vamos calcular o primeiro limite:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( 24 x ) x

Aplicando L’Hopital:

lim x → 0 ⁡ 24 * cos ⁡ 24 x

Quando x tende a 0 , temos 24 * cos ⁡ 0 .

Isso é o mesmo que 24 * 1 , então:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ ( 24 x ) x = 24

Passo 2

Aplicando o conceito, podemos dizer que:

0 2 + a * 0 + b = 24

Simplificando:

b = 24

Da mesma forma, podemos dizer que:

lim x → 6 ⁡ x 2 + a x + b = lim x → 6 ⁡ 18

Ou seja:

6 2 + a * 6 + 24 = 18

36 + 6 a + 24 = 18

6 a = 18 - 60

6 a = - 42

a = - 7

Passo 3

Agora que descobrimos a e b , sabemos que:

f x = x 2 - 7 x + 24

Então:

f 1 = 1 2 - 7 1 + 24

f 1 = 1 - 7 + 24

f 1 = 18

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

a) 18

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1