Discuta a continuidade de f :

a) f x ,   y = x y x 2 + y 2     s e   x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) 0 ,     s e   x ,   y = ( 0 ,   0 )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente discutir a continuidade da função f ( x ,   y ) que é definida por partes. E, galera, a continuidade pra funções de 2 variáveis não tem nenhuma grande novidade em relçao à continuidade nas funções de uma variável.

Dizemos que uma função é contínua em um ponto ( x 0 ,   y 0 ) se o limite for igual ao valor da função naquele ponto, ou seja:

lim x ,  y → ( x 0 ,   y 0 ) ⁡ f x ,   y = f ( x 0 ,   y 0 )

Então, o que vamos fazer é calcular o limite no lugar onde a função tem uma indeterminação, que no caso é o ponto ( 0 ,   0 ) , e verificar se o resultado do limite é o mesmo da função naquele ponto.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de f ( x ,   y ) , para x ,   y ≠ ( 0 ,   0 ) , tendendo ao ponto ( 0 ,   0 ) :

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ f x ,   y = l i m x ,   y → ( 0 ,   0 ) x y x 2 + y 2

Pra calcular esse limites vamos recorrer as coordenadas polares, chamando:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Substituindo na função:

l i m x ,   y → ( 0 ,   0 ) x y x 2 + y 2 = l i m r → 0 ( r cos ��� θ ) ( r sin ⁡ θ ) ( r cos ⁡ θ ) 2 + ( r sin ⁡ θ ) 2

Elevando o denominador ao quadrado:

l i m r → 0 ( r cos ⁡ θ ) ( r sin ⁡ θ ) r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

Colocando r em evidência e usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , temos:

l i m r → 0 r 2 ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = l i m r → 0 r 2 ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) r 2

l i m r → 0 r 2 ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) r

Simplificando:

l i m r → 0   r cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Assim, quando r tende a zero, temos:

l i m r → 0   r cos ⁡ θ sin ⁡ θ = 0

Além disso, a definição da nossa função nos diz que quando x ,   y = ( 0 ,   0 ) , temos f x ,   y = 0 . Então, lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ f x ,   y = f 0 ,   0 = 0 . Portanto, nossa função é contínua no ponto e em todo domínio.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   f u n ç ã o   é   c o n t í n u a   e m   t o d o   R 2

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1