Verifique se a função dada é contínua nos pontos indicados. Justifique a resposta.

f x = 1 2 x - 1 x ,     - 2 ≤ x ≤ 2

Onde x   é a função maior inteiro que não supera x . Nos pontos x = 0 e x = 1

Sugestão: Esboce o gráfico de f

Passo 1

Antes de começar a resolver a questão, vamos falar desse tal de maior inteiro que não supera x , o tal de x . Apesar de diferente, não tem nada de muito complicado com ele. Se temos x = 1.73 , por exemplo, então: x = 1

Que é o maior inteiro que não é maior que 1.73 . Veja que esse valor de x é válido para todo o intervalo [ 1,2 ) , levando:

f x = 1 2 x - 1 x = 1 2 x - 1 Nesse intervalo. Seguindo esse princípio, temos que:

f x = 1 2 x - 1 x = 1 2 x - 1 - 2 = 1 - x

Para x ∈ - 2 , - 1 .

f x = 1 2 x - 1 x = 1 2 x - 1 - 1 = 1 2 1 - x

Para x ∈ - 1,0 .

f x = 1 2 x - 1 x = 1 2 x - 1 ⋅ 0 = 0

Para x ∈ 0 , 1 .

Como x = 2 faz parte do intervalo proposto na questão e x = 2 não supera x = 2 , temos que:

f x = 1 2 x - 1 x = f x = 1 2 x - 1 ⋅ 2 = x - 1 ⟹ f 2 = 1

Para x ∈ 0,1 . Isso tudo resulta na função chaveada:

f x = 1 - x - 2 ≤ x < 1 1 2 1 - x - 1 ≤ x < 1 0 0 ≤ x < 1 1 2 x - 1 1 ≤ x < 2 1 x = 2

Passo 2

Vamos agora, esboçar o gráfico da função. Apesar de termos muitas expressões, temos somente retas, o que acaba compensando.

Vamos esboçar os gráficos como se não houvesse intervalo e depois vamos aplica-los.

A reta 1 - x tem zero em: y = 0 ⟹ 1 - x = 0 ⟹ x = 1

E corta o eixo y em: x = 0 ⟹ y = 1

Da mesma forma, para 1 - x / 2 :

y = 0 ⟹ 1 2 1 - x = 0 ⟹ x = 1

x = 0 ⟹ y = 1 2

E, para x - 1 / 2 :

y = 0 ⟹ 1 2 x - 1 = 0 ⟹ x = 1

x = 0 ⟹ y = - 1 2

Ligando os pontos, chegamos a:

Com 1 - x em vermelho, ( 1 - x ) / 2 em laranja, 0 em azul e ( x - 1 ) / 2 em roxo. Veja que as retas se encontram todas em x = 1 .

Passo 3

Vamos agora aplicar os limites de cada intervalo. A expressão em vermelho é válida para - 2 ≤ x < 1 . Como temos o sinal de menor ou igual em x = - 2 , marcamos com bolinha de recheio preto nesse ponto. Onde não há igual, deixamos uma bolinha de recheio branco.

Seguindo a ideia para as demais expressões, chegamos a:

Passo 4

Uma vez com o gráfico, nem precisamos calcular limites aqui. Veja que a há saltos em x = - 1 , x = 0 e x = 2 , logo a função não será continua nesses pontos.

Resposta

É contínua em x = 1 e descontínua em x = 0 .

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2