Defina a função f : R ⟶ R por

f x =   3 a x + x - 2 3 cos ⁡ x 2 - 4 x - 2   s e   x < 2 , 12 π                                                                                                 s e   x = 2 , b s e n π x 2 - 4 π x - 2                                             s e   x > 2 .

Sabendo que f é contínua em x = 2 é correto afirmar que o valor do produto a ⋅ b é:

  1. 12 π
  2. 8 π
  3. 6 π
  4. 2 π
  5. π
  6. 4 π
  7. 3 π
  8. 0

Não é necessário justificativa.

Passo 1

Meu caro Jedi, não tema, pois você está na presença da luz! Não se deixe enganar pelo tamanho das trevas, porque eu vou te mostrar que isso ai é simples!

O que precisamos para uma função ser contínua em um ponto? Que os limites pela esquerda e pela direita de um ponto sejam iguais entre si e que eles sejam iguais ao valor da função nesse ponto. ATENÇÃO, lê de novo porque isso é MUITO importante!

Aqui nessa questão, nosso ponto de interesse é x = 2 , então:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ f x = f ( 2 )

Mas veja, como a função é definida por partes, vamos substituir a expressão dela em cada intervalo:

lim x → 2 - ⁡ 3 a x + x - 2 3 c o s x 2 - 4 x - 2 = lim x → 2 + ⁡ b s e n π x 2 - 4 π x - 2 = 12 π

Isso precisa ser verdade!!!

Então, temos que resolver esses dois limites e igualar a 12 π para encontrar os valores de a e b !

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro limite:

lim x → 2 - ⁡ 3 a x + x - 2 3 c o s x 2 - 4 x - 2

Se substituirmos o valor de x = 2 , nós encontraremos o seguinte:

lim x → 2 - ⁡ 3 ⋅ a ⋅ 2 + 2 - 2 3 c o s 2 2 - 4 2 - 2 = 6 a + 0 ⋅ cos ⁡ 4 - 4 2 - 2

Aqui vai o pulo do gato, como o zero ta multiplicando o cosseno, nós podemos desconsiderar esse segundo termo todo. Não importa muito que vá aparecer uma coisa esquisita ali dentro do cosseno, porque a função cosseno está limitada ao intervalo [ - 1 , + 1 ] , qualquer que seja o ângulo. Então um número do intervalo [ - 1 , + 1 ] vezes 0 é 0.

Vamos então focar apenas na primeira parcela da soma:

l i m x → 2 - 3 a x + x - 2 3 c o s x 2 - 4 x - 2 = 6 a + 0 = 6 a

E esse limite deve ser igual ao valor da função no ponto x = 2 :

lim x → 2 - ⁡ f x = f 2 = 12 π

Então:

6 a = 12 π

Encontramos o valor de a :

a = 2 π

Passo 3

Vamos calcular o outro limite e assim, calcular o valor de b :

lim x → 2 + ⁡ b s e n π x 2 - 4 π x - 2

Se substituirmos o valor de x = 2 , nós teremos o seguinte:

lim x → 2 + ⁡ b s e n π x 2 - 4 π x - 2 = b ⋅ s e n 4 π - 4 π 2 - 2 = b ⋅ s e n 0 0 = 0 0

Ou seja, chegamos em uma indeterminação de 0 / 0 , logo podemos usar L’Hospital:

lim x → 2 + ⁡ b s e n π x 2 - 4 π x - 2 = lim x → 2 + ⁡ ( b s e n π x 2 - 4 π ) ' ( x - 2 ) '

No numerador, vamos usar a Regra da Cadeia, pois temos uma função dentro do seno:

b s e n π x 2 - 4 π ' = b ⋅ π x 2 - 4 π ' ⋅ s e n ' π x 2 - 4 π = b ⋅ 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ c o s ⁡ ( π x 2 - 4 π )

Enquanto a derivada do denominador é mais simples:

x - 2 ' = 1

Então, voltando ao limite, nós temos:

lim x → 2 + ⁡ b s e n π x 2 - 4 π x - 2 = l i m x → 2 + b ⋅ 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ cos ⁡ π x 2 - 4 π 1

Vamos substituir novamente o valor de x = 2 :

l i m x → 2 + b ⋅ 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ cos ⁡ π x 2 - 4 π 1 = b ⋅ 4 π ⋅ cos ⁡ 4 π - 4 π = b ⋅ 4 π ⋅ cos ⁡ 0

Como o cosseno de zero é igual a 1 , achamos nosso limite:

l i m x → 2 + b ⋅ 2 ⋅ π ⋅ x ⋅ cos ⁡ π x 2 - 4 π 1 = b ⋅ 4 π ⋅ 1 = 4 π b

Agora, temos que igualar esse limite ao valor da função nesse ponto:

lim x → 2 + ⁡ f x = f 2 = 12 π

Então:

4 π b = 12 π

Encontramos o valor de b :

b = 3

Passo 4

Agora o passo final, vamos multiplicar a e b :

a ⋅ b = ?

Substituindo os valores encontrados:

a = 2 π

b = 3

Então:

a ⋅ b = 2 π ⋅ 3 = 6 π

Resposta

Letra c

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1