Determine as constantes A e B para que a função abaixo seja contínua em x 0 = 2 .

f x = x 3 - x 2 + x - 1 ,     x > 2 A ,     x = 2 B - x 2 ,     x < 2

Passo 1

Queremos fazer valer a continuidade nesse ponto, portanto:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) = f a

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f 2

Passo 2

Para que ela seja contínua nesse ponto, temos que garantir que seus limites laterais sejam iguais, bem como o próprio valor da função no ponto, ou seja:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f 2

Antes do x = 2 , a função é dada pela lei ( x 3 - x 2 + x - 1 ) . Bem no ponto ela vale ( A ) , enquanto depois desse valor sua formação é dada por ( B - x 2 ) . Agora, basta resolver e matar o valor das constantes.

lim x → 2 + ⁡ ( x 3 - x 2 + x - 1 ) = lim x → 2 - ⁡ ( B - x 2 ) = A

2 3 - 2 2 + 2 - 1 = B - 2 2 = A

8 - 4 + 2 - 1 = B - 4 = A

5 = B - 4 = A

A = 5  

B - 4 = 5 → B = 9

Passo 3

Bora testar os valores no limite?

Para B

lim x → 2 - ⁡ ( B - x 2 ) = lim x → 2 - ⁡ 9 - x 2 = 9 - 4 = 5

Logo,  

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = f 2 = 5

Resposta

A = 5   ;

B = 9 ;

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
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Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2