Verifique a continuidade das funções abaixo no ponto 0,0 .

d) h x , y =   x y 2 x 2 + y 4 ,               s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                             s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Eaí pessoal, como vocês estão?

Nesse exercício recebemos uma função, de duas variáveis, definida por partes como:

h x , y =   x y 2 x 2 + y 4 ,             s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                             s e   x , y = ( 0,0 )

Sobre essa função, vamos precisar avaliar se ela é contínua no ponto ( 0,0 ) .

Sempre que precisamos verificar continuidade, seja em função de uma, duas variáveis (ou quantas variáveis o professor quiser complicar haha), devemos analisar se o limite da função naquele ponto é igual ao valor que a própria função assume. Ou seja:

lim x → x 0 y → y 0 ⁡ h x , y = h ( x 0 , y 0 )

Onde ( x 0 , y 0 ) é o ponto que queremos verificar a continuidade.

Assim, como aqui esse ponto é ( 0,0 ) , precisamos analisar se:

lim x → 0 y → 0 ⁡ h x , y = h ( 0 , 0 )

Perfeito!

Vamos então primeiro calcular esse limite e depois verificamos se ele é igual a h ( 0,0 ) .

Tranquilo?!

Passo 2

Precisamos calcular:

lim x → 0 y → 0 ⁡ h x , y

Mas, se h é definida por partes, qual dos dois valores devemos utilizar no limite?

Bom, h é definida como:

h x , y =   x y 2 x 2 + y 4 ,             s e   x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,                             s e   x , y = ( 0,0 )

Já que estamos buscando avaliar o limite quando ( x , y ) está tendendo a ( 0,0 ) , ainda não estamos exatamente no ponto ( 0,0 ) , mas próximo dele. Assim, x , y ≠ ( 0,0 ) e temos:

h x , y =   x y 2 x 2 + y 4

Ou seja, queremos calcular:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4

Massa!

Sempre o primeiro passo no cálculo de um limite é substituir os valores que x e y estão tendendo dentro dele. Fazendo isso:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = 0 ⋅ 0 2 0 2 + 0 4 = 0 0

Puts, uma indeterminação matemática! Precisamos usar algum outro meio pra calcular esse limite...

Passo 3

Então gente, algo importante quando se trata de limite de função de duas variáveis, antes de sequer calcularmos ele, é ter uma noção inicial se ele existe ou não. Pois, dependendo dessa noção, vamos atacar o problema de formas diferentes.

Uma ideia legal é comparar o expoente máximo do numerador e do denominador. Se o expoente do numerador for menor ou igual ao do denominador, é porque provavelmente esse limite não existe.

Já se ele for maior do que o do denominador é um indício de que provavelmente (é apenas um indício, não uma certeza) o limite existe.

No nosso caso, temos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4

O expoente máximo do numerador é 3 ( = 1 + 2 ) . Já no denominador, o expoente máximo ocorre no termo em y , e vale 4 . Ou seja, o expoente do numerador é menor do que o do denominador, sendo um indício de que esse limite não existe.

Sendo assim, vamos buscar encontrar o valor desse limite através de caminho diferentes.

Se esses valores forem diferentes, provamos que de fato o limite não existe.

Passo 4

Continuando pessoal, notaram que no denominador de:

x y 2 x 2 + y 4

os expoentes de x e y são diferentes?

Uma sacada muito boa quando isso acontece é escolher um caminho que deixa esses termos com o mesmo expoente, assim podemos somá-los.

Vamos fazer então x = y 2 :

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = lim x → 0 y → 0 ⁡ y 2 ⋅ y 2 ( y 2 ) 2 + y 4

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ y 4 y 4 + y 4

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ y 4 2 y 4 = 1 2

Massa! Por esse caminho deu 1 / 2 .

precisamos testar um novo caminho. Vamos então testar um outro qualquer, e buscando simplificar nossa vida, vamos fazer pelo caminho:

y = x

Assim:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 =   lim x → 0 y → 0 ⁡ y ⋅ y 2 y 2 + y 4

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ y 3 y 2 + y 4

Colocando y 2 em evidência no numerador e denominador:

lim x → 0 y → 0 ⁡ y ⋅ y 2 y 2 1 + y 2

=   lim x → 0 y → 0 ⁡ y 1 + y 2

Quando y → 0 , esse limite vale:

lim x → 0 y → 0 ⁡ y 1 + y 2 = 0 1 + 0 = 0

Olha que legal!! Quando testamos, no passo 3 , o limite pelo caminho x = y 2 , encontramos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = 1 2

Já agora, quando testamos o valor do limite pelo caminho y = x , achamos:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 2 x 2 + y 4 = 0

Qual é a conclusão que tiramoosss?

Isso aí, o limite não existe!

Passo 5

Então pessoal, lembra que falamos no passo 1 que pra função ser contínua em ( 0,0 ) precisaríamos ter:

lim x → 0 y → 0 ⁡ h x , y = h ( 0,0 )

Mas, como vimos no passo anterior, o limite de h ( x , y ) em ( 0,0 ) sequer existe!

Essa igualdade não pode ser verdadeira.

Portanto, a conclusão que chegamos é que h ( x , y ) não é contínua em ( 0,0 ) .

Prontinho pessoal! Vocês conseguiram entender tudinho?

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

Não é contínua.

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1