Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

Calcule a constante A para que a função abaixo seja contínua:

f x = sen ⁡ 1 x - x + x ,       x < 0 cos ⁡ x - A ,       x ≥ 0

Passo 1

No domínio x ≥ 0 , temos uma constante e um cosseno, sendo sua composição uma função contínua. Já no domínio x < 0 , a função é uma composição de funções contínuas, já que polinômios e senos são contínuos, a raiz ali tem seu argumento positivo ou nulo, pois é a raiz de um número negativo vezes - 1 , e o único ponto onde o argumento do seno é descontínuo é 0 , onde muda a lei de formação e observaremos com mais calma agora.

Resumindo: A função é contínua em x ≠ 0 . Para ela ser contínua, basta que achemos que ela é contínua também em x = 0 .

Sabemos que, para que a função seja contínua em x = 0 , precisamos que:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

Passo 2

Aplicando pela direita o limite, temos:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x - A

Como se trata de uma função contínua:

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ x - A = 1 - A

Pelo lado esquerdo, temos:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x - x + x

Se tentarmos aplicar propriedades de limites, teremos um problema. Distribuindo o limite pelas funções:

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x × lim x → 0 - ⁡ - x + lim x → 0 - ⁡ x

O que acontece aqui é que não conseguimos avaliar o limite de sen ⁡ 1 x , pois:

lim x → 0 - ⁡ 1 x = - ∞

E não possuímos nenhuma informação acerca de sen ⁡ ( - ∞ ) . Essa função não é definida à medida que o x vai para infinito ou menos infinito. O único jeito de atacar esse problema é com o Teorema do Confronto:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Independentemente do argumento do seno, essa relação acima vale. Multiplicando tudo por - x :

- - x ≤ sen ⁡ 1 x - x ≤ - x

Puxando o limite:

lim x → 0 - ⁡ - - x ≤ lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x - x ≤ lim x → 0 - ⁡ - x

Como temos que:

lim x → 0 - ⁡ - - x = lim x → 0 - ⁡ - x = 0

Pois a raiz é uma função contínua. Então segue que:

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x - x = 0

Gerando que

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x - x + x = 0 + 0 = 0

Passo 3

Substituindo no limite original, pelas propriedades de limites:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ 1 x - x + x = 0

Portanto, como os limites tem que ser iguais:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ f ( x )

1 - A = 0

A = 1

Resposta

A = 1

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