Q01II) Considere a função abaixo

f x = - a x + 3 ,     s e   0 < x ≤ 2 x - b ,     s e   2 < x ≤ 3 2 ,     s e   3 < x ≤ 4

Encontre valores de a e b de modo que f seja uma função contínua.

Passo 1

Bora lá. Olha bem essa função. Ela muda de lei de formação em dois pontos. Começando do zero e chegando em x = 2 , temos a transição de lei de formação:

- a x + 3 → x - 2

E daí em diante quando chega em x = 3 , temos a transição:

x - b → 2

Ok, mas e daí? Veja só, como todas as leis de formação são retas, elas vão ser contínuas em todo o conjunto dos reais. Logo, não vai fazer sentido checarmos a continuidade fora dos pontos que a lei de formação muda, não é mesmo? Então vamos ter que ver as duas condições:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ f x = f 2

lim x → 3 - ⁡ f x = lim x → 3 + ⁡ f x = f 3

Passo 2

Pra primeira condição, temos, tendendo a 2 por valores menores que 2 , a primeira lei de formação e por valores maiores, a segunda lei de formação. Sendo assim:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ f x = f 2

lim x → 2 - ⁡ - a x + 3 = lim x → 2 + ⁡ x - b = - a 2 + 3

O que vai dar:

2 - b = - 2 a + 3

2 a - b = 1

Pra segunda condição, temos, tendendo a 3 por valores menores que 3 , a lei de formação do meio e por valores maiores, a terceira lei de formação. Sendo assim:

lim x → 3 - ⁡ f x = lim x → 3 + ⁡ f x = f 3

lim x → 3 - ⁡ x - b = lim x → 3 + ⁡ 2 = 3 - b

Logo:

3 - b = 2

b = 1

Sabendo b , achamos a :

2 a - b = 1

2 a - 1 = 1

2 a = 2

a = 1

Resposta

a = 1 b = 1 → f x = - x + 3 ,     s e   0 < x ≤ 2 x - 1 ,     s e   2 < x ≤ 3 2 ,     s e   3 < x ≤ 4  

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2