Seja f uma função definida em ℝ e suponha que existe M > 0 tal que | f ( x ) - f ( p ) | ≤ M | x - p | para todo x . Prove que f é contínua em p .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos indica uma função f definida em ℝ, se tivermos uma constante positiva M > 0 , que garante

| f ( x ) - f ( p ) | ≤ M | x - p |

para qualquer x que você escolher. Temos que mostrar que a função é contínua no ponto x = p . Para isso, vamos lembrar a definição de continuidade em um ponto na seguinte forma

l i m x → p f ( x ) = f ( p )

Vamos tentar reescrever a relação dada no enunciado de forma que possamos usar a definição de continuidade! Saca só!

Passo 2

Primeiro, note que a definição de continuidade pode ser escrita como

l i m x → p f ( x ) - f ( p ) = 0

ou seja, se isso for verdade, temos que a função é contínua em x = p , felizmente, temos que a definição de módulo permite escrever a seguinte relação

- M | x - p | ≤ f ( x ) - f ( p ) ≤ M | x - p |

Isso é interessante, pois podemos calcular o limite em x → p em todos os termos para obter

l i m x → p [ - M | x - p | ] ≤ l i m x → p [ f ( x ) - f ( p ) ] ≤ l i m x → p [ M | x - p | ]

Como temos que f ( p ) é a função avaliada no ponto, ela não tem dependência em x , portanto, podemos afirmar que

l i m x → p [ f ( x ) - f ( p ) ] = l i m x → p f ( x ) - f ( p )

que é exatamente o lado esquerdo de nossa definição de continuidade! Agora, vamos usar o teorema do confronto para terminar a demonstração!

Passo 3

O teorema do confronto nos garante que se

L ≤ l i m x → p [ g ( x ) ] ≤ L

temos que

l i m x → p [ g ( x ) ] = L

Ou seja, só precisamos calcular os limites nos extremos da desigualdade! Ambas são bastante similares, note que

l i m x → p [ - M | x - p | ] = - M | p - p | = 0

e, também que

l i m x → p [ M | x - p | ] = M | p - p | = 0

Portanto, podemos garantir

0 ≤ l i m x → p f ( x ) - f ( p ) ≤ 0

ou seja, temos que

l i m x → p f ( x ) - f ( p ) = 0

e a função é contínua em x = p . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1