Considere a função

f x = a x + b ,   x < 1 x 2 + 1 , x ≥ 1

  1. Calcule o limite lim h → 0 + ⁡ f 1 + h - f 1 h
  2. Determine as constantes a e b para que f seja derivável em x = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Temos uma função definida por partes

f x = a x + b ,   x < 1 x 2 + 1 , x ≥ 1

No primeiro item o problema pede para calcular aquele limite lim h → 0 + ⁡ f 1 + h - f 1 h . Então é substituir a função (vamos usar a definição debaixo, pois queremos f ( 1 ) e f ( 1 + h ) , e como h tende a zero, mas é positivo, temos que h + 1 > 1 )

Tudo bem até aqui?

E no segundo item o problema pede para determinarmos as constantes a e b de forma que a função seja diferenciável em x = 1 . E aqui uma pergunta de milhões: você lembra das condições para uma função ser diferenciável?

Para que uma função seja diferenciável:

  • Deve ser contínua, isto é, ter os limites laterais iguais entre si e iguais ao valor da função no ponto
  • lim x → x 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) = f ( x 0 )

  • E também as derivadas laterais devem ter o mesmo valor entre si e diferentes de ( ± ∞ )

f ' x 0 - = f ' x 0 +  

A ideia aqui é usar esses critérios, aplicando na função, para encontrar o que se pede

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?

Vamos começar?

Passo 2

  1. Nossa função é

f x = a x + b ,   x < 1 x 2 + 1 , x ≥ 1

Precisamos calcular esse limite aqui

lim h → 0 + ⁡ f 1 + h - f 1 h

Como expliquei ali no passo 1 , vamos usar a definição ( x 2 + 1 ) , pois x ≥ 1 . Assim

f 1 = 1 2 + 1 = 2

f 1 + h = 1 + h 2 + 1 = 1 + 2 h + h 2 + 1

f 1 + h = h 2 + 2 h + 2

Beleza? Agora vamos substituir!

lim h → 0 + ⁡ f 1 + h - f 1 h = lim h → 0 + ⁡ h 2 + 2 h + 2 - [ 2 ] h = lim h → 0 + ⁡ h 2 + 2 h h

Podemos simplificar por h e avaliar o limite

lim h → 0 + ⁡ h + 2 = 2

Beleza?

Passo 3

(b): agora precisamos determinar a , b de forma que a função

f x = a x + b ,   x < 1 x 2 + 1 , x ≥ 1

x = 1 !

Então antes de mais nada, ela precisa ser contínua em x = 1 :

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

Calculamos f ( 1 ) no passo anterior

f 1 = 2

Agora vamos calcular o limite pela esquerda (já que o limite pela direita é 2 também – você pode verificar isso como exercício!)

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ ( a x + b ) = a + b

E para que seja contínua

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

a + b = 2

Outro critério é ela ter derivadas laterais iguais entre si. Então vamos derivar as duas partes, aplicar em x = 1 e igualar os resultados

f x = a x + b ,   x < 1 x 2 + 1 , x ≥ 1

Pela esquerda

a x + b ' = a

Pela direita

x 2 + 1 ' = 2 x

Aplicando em x = 1 e igualando os resultados

a = 2.1 ∴ a = 2

Mas temos que ( a + b = 2 ) pela condição de continuidade, assim

a + b = 2 → 2 + b = 2 → b = 0

E tá aí! Achamos nossas constantes

a = 2 ,   b = 0

Com elas nossa função não só é contínua, como também diferenciável em x = 1 !

f x = 2 x ,   x < 1 x 2 + 1 , x ≥ 1

Tudo bem? É isso, terminamos! Espero ter ajudado!

Resposta

a ) 2

b ) a = 2 ; b = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1