1. Em cada item, use as propriedades de continuidade para explicar por que a função é contínua em seu domínio.
  1. f x = arcsin ⁡ x 2 - 1
  2. f x = 6 + sin ⁡ ( x + sin ⁡ x ) x 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Precisamos explicar a continuidade dessas duas funções. Mas antes disso vamos lembrar de algumas coisinhas!

Existem funções que são sempre contínuas em seus domínios, ou seja, você não precisa fazer a análise para esses casos. Essas funções são:

  1. Polinômios, para todo R .
  2. Funções raízes, para x ≥ 0 em raízes pares x 2 ,   x 4 … ;   e todo R para impares.
  3. Funções seno e cosseno, para todo R .
  4. Funções Trigonométricas Inversas, como a r c s e n ,   a r c t g , etc. Para todo R .
  5. Funções exponenciais, para todo R .
  6. Funções logarítmicas, para todo x > 0 .
  7. Funções com razão de polinômios, exceto nos pontos onde o denominador zera.

Além disso, sempre que tivermos uma operação de funções continuas em seus domínios como, multiplicação, divisão, soma e subtração, o nosso resultado também será uma funçã contínua.

Então bora lá!

Passo 2

  1. Primeiro temos a seguinte função,
  2. f x = arcsin ⁡ x 2 - 1

    Repara que temos um polinôminio, que é uma função continua, dentro de uma função arcosseno, que também é continua. Logo f x também será continua em todo seu domínio.

    Passo 3

  3. Agora temos

f x = 6 + sin ⁡ ( x + sin ⁡ x ) x 2

Repara que ela é uma divisão de duas funções continuas em seu domínio: no numerador nós temos uma combinação de funções trigonométricas e no denominador nós temos um x 2 . Mas repara que o denominador não pode zerar. Então ela não será continua em x = 0 .

Resposta

No texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1