Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:

b) f : R → R dada por

Passo 1

Oiiiii gente, como está a semana de vocês? Bora levantar o astral e resolver esse probleminha?

A nossa questão deseja que esbocemos o gráfico da função f ( x )   e além disso, faça a verificação se essa função é contínua ou não em relação ao seu domínio.

Bom, a nossa função f é uma função com domínio e imagem no conjunto dos números reais, pois tanto x quanto y podem assumir qualquer valor real.

Além disso, a função f ( x ) é uma função por partes, ou seja, para cada intervalo no domínio a função muda de “cara”. E agora?? Como fazemos o gráfico??

Como a função é definida por partes, iremos também fazer o esboço do gráfico por partes.

Passo 2

Como vocês já pensaram em alguns jeitos de construir o gráfico da função, vamos para a estratégia que eu pensei. Particularmente gosto de fazer o uso de uma tabela para nos auxiliar com os valores do gráfico, bora lá!!!

Primeiro para o intervalo onde x   <   4 : Trata-se de uma função do segundo grau, ou seja, é do tipo f ( x )   = a x ² + b x + c .

A função em questão é: f ( x )   =   - x ² + 1

Lembrando que não há uma regra específica de que valores precisamos colocar na tabela, basicamente coloco valores aleatórios apenas para ter noção de como se comporta o gráfico.

Lembrando também que é uma função de segundo grau, sabemos que é uma parábola.

Mas o gráfico dessa questão trata-se também de uma função modular, logo não haverá imagens negativas para esse intervalo. As partes negativas vão ser espelhadas pra cima. Olha como vai ficar!

Construindo o gráfico…

Passo 3

Agora iremos fazer o mesmo passo a passo anterior.

Para o intervalo onde x   ≥ 4 : Trata-se de uma função do primeiro grau, ou seja, é do tipo f ( x )   = a x + b . Então a gente já sabe que é uma reta ne, gente!

A função em questão é: f ( x )   =   5 x - 5

Esboçando o gráfico…

Passo 4

Assim, o gráfico final fica com essa aparência:

Passo 5

E em relação a continuidade? Vocês acham que essa função é contínua ou não???

Uma função f é contínua num ponto a de seu domínio quando l i m x → a =   f ( a ) . Quando f é contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua. Assim, sabemos que o domínio de f são os números reais e pelo gráfico esboçado no passo anterior, vemos que para cada ponto do domínio de f existe um l i m x → a =   f ( a ) . Portanto, a função em questão é contínua.

Resposta

Resolução nos passos acima

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1