Seja f uma função real tal que |   f ( x ) |   ≤   |   s i n ( x ) | para todo x   ∈   R . Então

a. f pode ser descontínua em x = 0 ;

b. f é contínua em x = 0 , mas pode não ser derivável em x = 0 ;

c. f é derivável em x = 0 e   f   ′   ( 0 )   = 0 ;

d. f é derivável em x = 0 e   f   ′   ( 0 )   = 1 ;

e. f é derivável em x = 0 mas podemos apenas afirmar que − 1   ≤   f   ′   ( 0 )   ≤ 1 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Seja f uma função real tal que |   f ( x ) |   ≤   |   s i n ( x ) | para todo x   ∈   R . Temos que verificar qual das afirmações está correta

a. f pode ser descontínua em x = 0 ;

b. f é contínua em x = 0 , mas pode não ser derivável em x = 0 ;

c. f é derivável em x = 0 e   f   ′   ( 0 )   = 0 ;

d. f é derivável em x = 0 e   f   ′   ( 0 )   = 1 ;

e. f é derivável em x = 0 mas podemos apenas afirmar que − 1   ≤   f   ′   ( 0 )   ≤ 1 .

Vamos analisar as informações que temos sobre essa função e então poderemos verificar qual das alternativas melhor se encaixa. Então vamos lá!

Passo 2

Olhando para as afirmações, notamos que todas estão olhando para a função no ponto zero, então vamos tentar obter alguma informação da função nesse ponto pelas informações do enunciado:

|   f ( x ) |   ≤   |   s i n ( x ) |

temos que se x=0

|   f ( 0 ) |   ≤   |   s i n ( 0 ) | = 0 .

Passo 3

A função modular é sempre positiva, então

|   f ( 0 ) |   = 0

Se o módulo é zero, temos que

f ( 0 ) = 0 .

Assim, sabemos que a função é contínua em x=0, mas como não temos recursos para avaliar seus limites laterais, não podemos fazer afirmações sobre a sua derivada nesse ponto. Então a alternativa que melhor se encaixa é:

b. f é contínua em x = 0 , mas pode não ser derivável em x = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

b. f é contínua em x = 0 , mas pode não ser derivável em x = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1