Verifique se a função f abaixo é contínua no ponto a indicado

x 2 - 8 ,   s e   x < 3

s i n ( x - 3 ) x - 3   s e   x > 3

1   s e   x = 3

onde a = 3

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa é boa, vamos revisar o limite fundamental trigonométrico. Nosso objetivo é verificar se a função

x 2 - 8 ,   s e   x < 3

s i n ( x - 3 ) x - 3   s e   x > 3

1   s e   x = 3

é contínua no ponto a = 1

Mas vocês lembram a definição de uma função ser contínua? Vamos revisar

Dizemos que uma função �� contínua em um ponto x = a se

l i m x → a f ( x ) = f ( a )

Isto é, o valor da função no ponto é igual ao valor do limite naquele ponto. Mas antes de verificarmos se a função é contínua, vamos relembrar o limite fundamental trigonométrico. Ele diz que

l i m x → 0 s i n ( x ) x = 1

Com isso em mente, vamos verificar se a nossa função é contínua

Passo 2

Queremos ver se a função abaixo é contínua no ponto x = 3

x 2 - 8 ,   s e   x < 3

s i n ( x - 3 ) x - 3   s e   x > 3

1   s e   x = 3

Como falamos no passo 1, para ela ser contínua precisamos que

l i m x → 3 f ( x ) = f ( 3 )

Vamos calcular o limite primeiro. Para isso, precisamos dos limites laterais no ponto x = 3

Como para x > 3 nossa f ( x ) = s i n ( x - 3 ) x - 3 temos

l i m x → 3 + f ( x ) = l i m x → 3 + s i n ( x - 3 ) x - 3

Pode não parecer, mas esse é o limite fundamental. Vamos fazer uma mudança de variáveis. Iremos definir

y = x - 3

Então, quando x → 3 temos que y → 0 . Dessa forma, podemos reescrever o limite como

l i m x → 3 + s i n ( x - 3 ) x - 3 = l i m y → 0 + s i n ( y ) y

Que é o limite fundamental. Logo

l i m x → 3 + s i n ( x - 3 ) x - 3 = l i m y → 0 + s i n ( y ) y

= 1

E o outro limite é:

l i m x → 3 - f ( x ) = l i m x → 3 - x 2 - 8

pois para x < 3 nossa f ( x ) = x 2 - 8 . Então

l i m x → 3 - x 2 - 8

= 3 2 - 8

= 1

Ou seja, chegamos a conclusão que os limites laterais são iguais. Logo o limite no ponto x = 3 está bem definido e vale

l i m x → 3 f ( x ) = l i m x → 3 - f ( x )

= 1

E temos que

f ( 3 ) = 1

Dessa forma, conseguimos mostrar que o limite da função no ponto x = 3 é igual ao valor da função naquele ponto. Isso implica que f é CONTÍNUA.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c o n t í n u a

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1