Sejam a e b tal que a função

f x = - 9 ,       s e   x ≤ - 15 ,                                 a x + b ,         s e - 15 < x ≤ 0 6 - x 2 ,       s e   x > 0                                

É contínua em todo ponto. O valor de 3 f ( - 5 ) é

Escolha uma:

a )   3

b )   51

c ) - 7

d )   21

e )   39

Passo 1

Falaaaa, beleza??? Bora lá começar essa provinha de cálculo.

Esse tipo de questão é bem importante para entender o conceito de continuidade, bora dar uma lembrada nesse conceito?

De forma um pouco menos formal, dizemos que f é contínua em todo ponto, se em cada ponto de f temos:

lim x → a ⁡ f x = f ( a )

Além desse limite ser igual a f ( a ) , para o limite existir tem outra coisinha que deve rolar, consegue lembrar?

Para isso, precisamos que:

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x )

Pelo enunciado, sabemos que a função em questão é contínua em todo ponto, então pelo o que foi dito, precisamos que os limites laterais em cada ponto devem ser iguais.

As 3 expressões são contínuas, pois 2 são polinomiais e 1 delas é uma função constante. Então só precisamos olhar pros pontos em que a lei da função muda: x = - 15 e x = 0 .

Bora fazer isso.

Passo 2

Precisamos, pra x = - 15 , primeiramente que:

lim x → - 15 - ⁡ f x =   lim x → - 15 + ⁡ f x  

Porém, quando temos x → - 15 - , usaremos f x = - 9 , pois temos valores indo para - 15 pela esquerda. Analogamente, usaremos f x = a x + b quando x → - 15 + . Bora lá:

lim - 9 x → - 15 - ⁡ =   lim x → - 15 + ⁡ a x + b  

Ou seja:

- 9 =   - 15 a + b

Essa é uma das relações, bora achar a outra, olhando para o outro ponto.

Passo 3

Como foi dito, bora olhar para x = 0 :

lim x → 0 - ⁡ f x =   lim x → 0 + ⁡ f x  

Pelo mesmo pensamento anterior, vamos tomar f x = a x + b quando x → 0 - e usaremos que f x = 6 - x 2 quando x → 0 + , bora lá:

lim x → 0 - ⁡ a x + b   =   lim x → 0 + ⁡ 6 - x 2  

Ou seja:

b = 6

Unindo essa informação na equação achada da primeira vez, temos:

- 9 = - 15 a + 6

E por isso a = 1 .

Ou seja, temos que:

f x = - 9 ,       s e   x ≤ - 15 ,                                 x + 6 ,         s e - 15 < x ≤ 0 6 - x 2 ,       s e   x > 0                                

E como queremos 3 f ( - 5 ) , bora colocar x = - 5 nessa segunda equação:

3 f - 5 = 3 - 5 + 6 = 3

E assim chegamos ao fim dessa questãozinha, bora para a próxima?

Resposta

Letra A

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1