11 – Considere a função

f x = x + 1 ,     s e   x ≤ 0 c x ,     s e   x > 0

a) Existe uma constante c para qual a constante seja contínua em x = 0 ? Justifique sua resposta.

b) se existir uma constante c tal que f x seja contínua em x = 0 , esboce o gráfico de f x .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, temos uma função f x que é definida por partes, quando x ≤ 0 , f x assume x + 1 e quando x > 0 , f x assume c x .

A ideia no item a) é obter um valor de c de modo que a função f x seja contínua em x = 0 .

Já no item b), após obter o valor do item a), esboçar o gráfico de f .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Quando x = 0 , f assume a função x + 1 e repentinamente quando x > 0 , f assume a função c x .

Para f ser continua em x = 0 , essa mudança de comportamento deve ser tão suave que o valor de f em x = 0 - deve ser igual a f em x = 0 + .

Veja só como vamos fazer isso! 😁

Passo 2

Em x = 0 a função assume qual valor?

Nesse ponto f x assume x + 1 , correto? Ou seja, se x = 0 , então

f 0 = 0 + 1 = 1

Nesse caso quando x estiver infinitesimalmente maior que 0 , f x deve ser também infinitesimalmente igual a 1 .

Dessa forma, o limite de f x de quando x tende a 0 pela direita, deve ser igual a 1

E quando x tende a 0 pela direita f x assume c x , entendeu?

Ou seja, o que temos que calcular é

lim x → 0 + ⁡ c x

E forçar esse resultado ser igual a 1

Portanto temos que dizer que

lim x → 0 + ⁡ c x = 1

Se substituirmos x por 0 + , vamos obter

c 0 + = 1

Como c é uma constante então temos que

∞ = 1

O que é impossível! Portanto não existe um valor para c que faça f ser contínua em x = 0 !

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Já no item b), temos que esboçar o gráfico de f após definir c .

Mas acabamos de obter que c não existe, então como f x para x > 0 tende ao infinito e f x para x ≤ 0 tende a 1 em x = 0 . A função f não é contínua.

Se esboçarmos o gráfico de f , vamos obter algo parecido com isso

Nesse caso, usamos c = 1 e se usarmos qualquer valor para c , o resultado será o mesmo!

f tende ao infinito em x = 0 + .

É isso!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

c não existe!

Exercícios de Livros Relacionados

Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1