Considere uma função contínua f : [ 0,1 ] ⟶ R tal que 0 < f ( x ) < 1 para todo 0 ≤ x ≤ 1 .

  1. Defina g : [ 0,1 ] ⟶ R por g x = f x - x . Mostre que g é contínua.
  2. Use a função g para mostrar que existe um ponto c   ϵ   0,1 tal que f c = c .

Passo 1

Fala ai, pessoal! Vamos começar mais uma provinha já falando sobre continuidade!

Na letra a, o enunciado nos diz que a função g ( x ) é composta pela função f ( x ) subtraindo outra função:

g x = f x - x

Essa outra função é:

x

Passo 2

Primeiro de tudo é verificar o seguinte, a função f ( x ) ela é CONTÍNUA, beleza? Isso é dito no enunciado.

E a segunda função x ? Ela também é contínua, pois ela nada mais é do que uma função polinomial:

h x = x

Logo, se a função g ( x ) é composta pela subtração de duas funções que são contínuas, ela também será contínua!

Passo 3

Agora vamos responder a letra b!

Nessa questão, ele nos pede para comprovar que existe um ponto c   ϵ   0,1 tal que f c = c .

Então isso que a gente tá procurando: um ponto em que f x = x . Em outras palavras, o ponto em que f x - x = 0 .

Que coisa! Vamos dar uma olhadinha pra nossa função g x , e perceber que ela é igual a esse termo f x - x que tem que ser nulo:

g x = f x - x

Então isso quer dizer que, se a gente tiver um ponto c em que g c = 0 , então nesse ponto, nós temos que:

g c = f c - c = 0

Ou seja,

f c = c

Uhuuuull! Então é isso, nós temos que mostrar que existe um ponto x = c em que:

g x = 0

Mas como vamos fazer isso??

Vamos precisar definir o intervalo da função g x , a partir do intervalo de x , pra ver se tem algum ponto em que essa função é nula. Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 4

Pessoal, vamos então lembrar da nossa função

g x = f x - x

E do seu domínio

0 ≤ x ≤ 1

Então se substituirmos seu limite inferior x = 0 :

g 0 = f 0 - 0

Mas o enunciado também diz pra gente que 0 < f ( x ) < 1 . Então, como a função f ( x ) sempre é maior que zero, então g ( 0 ) será maior que zero, correto?

0 < g 0 = f 0 < 1

Agora vamos fazer a mesma coisa substituindo o valor de x = 1 :

g 1 = f 1 - 1

É o mesmo que subtrair 1 dos limites que a função f ( x ) pode assumir:

0 < f ( x ) < 1

Veja:

0 - 1 < f 1 - 1 < 1 - 1

Logo a função g ( 1 ) , quando x = 1 , tem valor no intervalo:

- 1 < g 1 < 0

Passo 5

Do passo anterior, achamos que

0 < g 0 < 1

- 1 < g 1 < 0

Ou seja, a função é positiva quando x = 0 e negativa quando x = 1 . E como essa função é contínua, você concorda comigo que ela tem que passar pelo zero nesse intervalo? Pra uma função contínua passar de um ponto positivo pra um negativo, ou ao contrário, ela tem que passar pelo zero.

E esse ponto em que g x = 0 é o que nós vamos chamar de c :

c   ϵ   0,1 → g c = 0

Mas vamos reescrever g ( c ) usando f ( x ) :

g c = f c - c = 0

Logo, temos a relação:

f c - c = 0

E podemos simplificar em:

f c = c

Comprovamos o que queríamos!

Beleza, pessoal, agora é continuar para a próxima!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
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