Exercícios Resolvidos de Continuidade

UFF - Cálculo IA - P1 Marlene 2013.2 – 3

Considere

f x = a 2 sen 4 x x   s e x < 0 b s e x = 0 b 2 + 1 - cos x x sen 1 x s e x > 0

Determine os pares ordenados a , b de forma que essa função seja contínua em x = 0 .

Passo 1

Para termos a função contínua em x = 0 necessitamos que

lim x 0 + f x = lim x 0 - f x = f 0

Onde f 0 = b . Assim, queremos:

lim x 0 + b 2 + 1 - cos x x sen 1 x = lim x 0 - a 2 sen 4 x x = b

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Passo 2

Começamos com o limite de valores menores que x = 0 :

lim x 0 - a 2 sen 4 x x

Tem uma cara de Limite Fundamental Trigonométrico, né? Vamos apostar nisso, forçar aparecer um 4 embaixo e substituí-lo

lim x 0 - a 2 sen 4 x x = lim x 0 - a 2 sen 4 x x 4 4 = 4 a 2 lim x 0 - sen 4 x 4 x

= 4 a 2 1 = 4 a 2

Passo 3

Vamos calcular agora o limite para x > 0 :

lim x 0 + b 2 + 1 - cos x x sen 1 x = b 2 + lim x 0 + 1 - cos x x sen 1 x

Nesse limite aí, repara que teríamos uma indeterminação dentro do seno e um 0 0 fora:

lim x 0 + 1 - cos x x sen 1 x = sen 0 0

Para resolver o problema do seno, uso o Teorema do Confronto com ele:

- 1 sen 1 x 1

lim x 0 1 - cos x - 1 x lim x 0 1 - cos x sen 1 x x lim x 0 1 - cos x 1 x

Agora basta calcular o seguinte:

lim x 0 1 - cos x x

Passo 4

Repara que esse cara pode ser multiplicado pelo seu conjugado para dar em alguma coisa função de seno:

lim x 0 1 - cos x x 1 + cos x 1 + cos x = lim x 0 1 - cos 2 x x 1 + cos x

Você deve lembrar que, pela relação fundamental da Trigonometria, sen 2 x + cos 2 x = 1 . Com isso, colocando o seno ao quadrado em evidência teríamos:

lim x 0 sen 2 x x 1 + cos x = lim x 0 sen 2 x x 2 lim x 0 x 1 + cos x

Repara que eu multipliquei um x em cima e embaixo, para poder aparecer o limite fundamental ao quadrado no primeiro cara:

lim x 0 sen x x 2 lim x 0 x 1 + cos x = 1 2 0 1 + cos 0

= 0

Passo 5

Com isso, concluímos que

lim x 0 - 1 - cos x x = lim x 0 1 - cos x x = 0

Logo,

lim x 0 1 - cos x - 1 x lim x 0 1 - cos x sen 1 x x lim x 0 1 - cos x 1 x

lim x 0 1 - cos x sen 1 x x = 0

E

lim x 0 + b 2 + 1 - cos x x sen 1 x = b 2 + 0

= b 2

Passo 6

Juntando o que calculamos, queremos:

lim x 0 + f x = lim x 0 - f x = f 0

b 2 = 4 a 2 = b

Para os valores de b , acharemos:

b 2 = b b 2 - b = 0

b b - 1 = 0

b 1 = 0   ; b 2 = 1

Como teríamos

4 a 2 = b a 2 = b 4

a = ± b 2

a 1 = b 1 2 = 0 2 = 0

a 2 + = b 2 2 = 1 2 = 1 2

a 2 - = - b 2 2 = - 1 2 = - 1 2

Achamos os pares 0,0 e 1 2 , 1 , - 1 2 , 1 gerando que a função seja contínua em x = 0 .

Resposta

0,0     ;     1 2 , 1 ;   - 1 2 , 1

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