Enunciado

Encontre os valores de a e b , se possível, tais que a função

f x = x 2 + x - 1 , s e   x < 1 a x + b , s e   1 ≤ x ≤ 2 x 2 - 2 , s e   x > 2 ,

seja contínua para todo x . Justifique.

Passo 1

Podemos ver que x 2 + x - 1 e x 2 - 2   são polinômios, então eles são contínuos. Logo, f é contínua para x < 1 e x > 2 .

Sendo a e b constantes, f também é contínua para 1 < x < 2 .

Então só nos resta verificar a continuidade da função em x = 1 e x = 2 . Pra isso temos que calcular os limites laterais nesses 2 pontos e verificar que eles coincidem.

Passo 2

Vejamos os limites laterais em x = 1 :

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 2 + x - 1 = 1 + 1 - 1 = 1

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ a x + b = a + b

Então para f ser contínua devemos ter:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x

⇒ a + b = 1

Passo 3

Agora vamos ver em x = 2 :

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ a x + b = 2 a + b

lim x → 2 + ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ x 2 - 2 = 4 - 2 = 2

Igualamos pra f ser contínua:

2 a + b = 2

Passo 4

Então caímos no sistema

a + b = 1 2 a + b = 2

Substituindo b = 1 - a na 2ª equação:

2 a + 1 - a = 2

⇒ a = 1

⇒ b = 0

Portanto, esses são os valores de a e b necessários para que f seja contínua em todo o R .

Resposta

a = 1

b = 0

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