Para a função f   definida por f x = - 2 - x , x < 1 a x + b , 1 ≤ x < 2 x 2 - 7 x + 12 , x ≥ 2

a) Determine os valores de a e b   para que f seja contínua em R .

b) Esboce o gráfico de f .

Passo 1

Vamos começar com a letra (a). Para que a função seja contínua no ponto, precisamos que os limites laterais sejam iguais e iguais ao valor da função, no ponto, ou seja:

lim x → c - ⁡ f x = lim x → c + ⁡ f x = f c

Vamos calcular cada um, em cada ponto. Para que a função seja contínua em x = 1 , precisamos que:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1

Temos que, como a expressão da função é - 2 - x à esquerda de x = 1 :

lim x → 1 - ⁡ f x = l i m x → 1 - - 2 - x

Como não há indeterminação:

l i m x → 1 - - 2 - x = - 2 - 1 = - 1    

Seguindo a mesma ideia, temos que: lim x → 1 + ⁡ f x = l i m x → 1 + a x + b = a + b

E:

f 1 = a + b

Precisamos então que:

a + b = - 1

Para que a função seja contínua nesse ponto. Temos duas incógnitas e uma equação, precisamos de mais uma para resolver. Vamos analisar o ponto x = 2 para obter outra equação e matar a questão.

Passo 2

Para esse ponto, precisamos que:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ f x = f 2

Onde:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 - ⁡ a x + b = 2 a + b

lim x → 2 + ⁡ f x = l i m x → 2 + x 2 - 7 x + 12 = 2 2 - 7 ⋅ 2 + 12 = 4 - 14 + 12 = 2 = 2

Portanto, precisamos que: 2 a + b = 2

Passo 3

Legal, agora temos duas equações e duas incógnitas, já dá para resolver.

a + b = - 1 2 a + b = 2

Substituindo a + b = - 1 ⟹ a = - 1 - b :

2 - 1 - b + b = 2 ⟹ - 2 - 2 b + b = 2 ⟹ b = - 4

Voltando a primeira equação:

a = - 1 - - 4 = 3

Esses são os valores de a e b para que a função seja contínua nos pontos x = 1 e x = 2 . Garantimos que ela é contínua nos demais pontos do domínio, pois as expressões são sempre contínuas para todos seus domínios.

Passo 4

Vamos agora para a letra b , que não tem muito mistério. Para a primeira expressão, temos uma raiz negativa que que vale - 2 quando corta o eixo y .

A reta será 3 x - 4 que corta o eixo x em:

3 x - 4 = 0 ⟹ x = 4 3

E o eixo y em: 3 ⋅ 0 - 4 = y ⟹ y = - 4

A expressão do módulo será uma parábola com a parte negativa espelhada, uma vez que está dentro de um módulo e o módulo é sempre positivo. Esboçando cada uma expressões e limitando os intervalos, chegamos a:

Repare que a função é de fato contínua em todo seu domínio.

Resposta

a = 3

b = - 4

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2