Para que a função

f x = x 2 + 2 x - 3 x - 1 ,                     s e   x < 1 x + k ,                                                     s e   x ≥ 1

Seja contínua em R o valor da constante k deve ser

Passo 1

Cada intervalo da função, para x < 1 e x ≥ 1 , tem a função contínua na sua região. Com isso, basta observar no ponto onde há a mudança de domínio, x = 1 , para definir o valor de k . Então, vamos fazer os dois limites laterais e igualá-los.

Passo 2

Para x ≥ 1 :

lim x → 1 + ⁡ x + k = 1 + k

Simples assim. Agora, para x < 1 :

lim x → 1 - ⁡ x 2 + 2 x - 3 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ x + 3 x - 1 x - 1

Como x + 3 x - 1 é uma parábola com concavidade para cima entre as suas raízes em - 3 e 1 , sabemos que entre esse intervalo (de x = - 3 até x = 1 ) a função do segundo grau será negativa.

Dessa maneira, o módulo da função para valores logo antes de 1 (já que o limite é de x → 1 - ) valerá o oposto da função, ou seja, “menos” vezes ela:

lim x → 1 - ⁡ x + 3 x - 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ - x + 3 x - 1 x - 1

= lim x → 1 - ⁡ - x + 3 = - 1 + 3 = - 4

Ótimo!

Passo 3

Logo, para que a função seja contínua, os limites laterais devem ser iguais:

lim x → 1 + ⁡ x + k = lim x → 1 - ⁡ x 2 + 2 x - 3 x - 1

1 + k = - 4

k = - 5

Resposta

k = - 5

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Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = x 2 - x x 2 - 1 , x ≠ 1 1 , x = 1 ,a = 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2