Questão 3: Seja f : R → R dada por

f x = - 6 x - 3 x - 2                 ,         s e       x ≥ 1   4 x - 1                           ,         s e       x < 1                

  1. A função é contínua em x = 1 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Bem, quando um problema nos dá uma função definida por partes assim e nos pergunta sobre continuidade, ele quer saber se no ponto que liga as duas funções, a função é contínua ou não, saca? Por isso ele nos pediu a continuidade em x = 1 .

Bem, de acordo com a teoria, uma função é contínua em um ponto se:

1º - A função existe naquele ponto.

2º - Os limites laterais existem e vale a função naquele ponto.

Passo 2

Então vamos verifica, começando vendo se a função existe no ponto x = 1 . Quando estamos em x = 1 , estamos falando da primeira função...

f 1 = - 6 - 3 1 - 2 = 3

Então a função existe em 1 e vale 3 .

Passo 3

Vamos então verificar os limites laterais...

lim x → 1 + ⁡ f x

e

lim x → 1 - ⁡ f x

Quando estamos do lado direito de 1 , ou seja, tendendo a 1 pela direita ( 1 + ), a função em que estamos andando é...

lim x → 1 + ⁡ - 6 x - 3 x - 2 =

lim x → 1 + ⁡ - 6 - 3 1 - 2 = 3

Agora quando estamos tendendo a 1 pela esquerda...

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ 4 x - 1 =

lim x → 1 - ⁡ 4 - 1 = 3

Epa! Os limites laterais existem e são iguais ao valor da função no ponto...

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ f x = f 1 = 3

Então a função é contínua, sacou? :D

Resposta

É contínua

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ f x = f 1

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Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. R x = x 2 + 2 x - 1
Explique, usando os teoremos 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. F x = s e n - 1 ( x 2 - 1 )
Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função. f x = ln ⁡ x - 2 ,a = 2